Question

Un futbolista patea el balón y esta recorre una trayectoria cuya ecuación está dada por
M(x)= -0,003x^2+2x+6
; donde “x” es la distancia que recorre la bola horizontalmente, “y” es la altura
sobre el nivel del suelo, ambos en metros, determine:
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola?
b) ¿Que tan lejos ha viajado la bola horizontalmente cuando llega al suelo?.
c) Graficar la función cuadrática indicando su vertice y cortes.

Answer 1

Hola :D

Recurriré a usar derivadas, ya que es un método más ágil, cuando se deriva se obtiene la tasa de cambio, en una función polinomial (grado n, excepto 1) se pueden obtener máximos y mínimos, de los cuales dichas tasas de cambio es 0, por lo que la misma derivada se iguala a ello.

$M(x)=-0.003x^{2} +2x+6 \to \texttt{Derivas:}\\ \dfrac{dM(x)}{dx}=-0.003\dfrac{d}{dx}(x^{2} )+2\dfrac{d}{dx}(x)+\dfrac{d}{dx}(6)=0$

Para poder hacer la derivación usamos las siguientes fórmulas:

$\boxed{\dfrac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1} }\\ \boxed{\dfrac{d}{dx}\underbrace{(c)}_{\texttt{Constante}}=0 }$

Entonces:

$-0.003(2x)+2(1)+0=0\to -0.006x + 2=0\\ -0.006x=-2 \Rightarrow x=\dfrac{-2}{-0.006}\therefore \bold{x=333.3}$

Lo que se obtuvo es la distancia a la cual se obtiene el máximo, esto lo intuimos al ver la gráfica.

Para obtener lo pedido debemos reemplazar el valor:

$M(333.33)=-0.003(333.33)^{2}+2(333.33)+6 \\ \boxed{\bf{M(333.33)=339.33\:metros}}$

La altura máxima será de aproximadamente 340 metros.

$b)$ Vamos a tomar en cuenta la gráfica del primer cuadrante, ya que nos indican valores positivos, y las distancias siempre lo son.

Diremos que para hallar lo pedido la altura máxima es 0, esto es debido a que hay 2 momentos en que el balón está en el suelo, cuando se le patea y cuando finalmente cae, por lo cual obtendremos 2 soluciones, entonces:

$\underbrace{-0.003}_{a}x^{2} +\underbrace{2x}_{b}+\underbrace{6}_{c}=0$

Usamos la fórmula general:

$\boxed{x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}}\\ x=\dfrac{-2\pm \sqrt{(2)^{2} -4(-0.003)(6)} }{2(-0.003)}\\ x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{4.072} }{-0.006}$

De entrada del $\pm$ se descarta positivo, ya que la raíz que tenemos es $2$ y unos decimales, por lo que al hacer la suma y división nos queda negativo, lo cual no tiene un sentido físico, por consiguiente encontramos la otra solución:

$x=\dfrac{-2-2.018}{-0.006}\to x=\dfrac{-4.018}{-0.006} \\ \boxed{\bf{x=669.66\:metros}}$

$c)$ A lo largo del ejercicio se encontró el Vértice y el corte con el eje $x$, en todo caso lo recalco:

$\boxed{\bf{Vertice\:(333.33,339.33)}}\\ \boxed{\bf{Cortes\: en\: x:\:(-2.93,0);(669.66,0)}}$

Para encontrar el cote en $y$, igualas $x$ a $0$:

$M(x)=-0.003(0)^{2}+2(0)+6\\ \boxed{\bf{M(x)=6}}\\ \boxed{\bf{Corte\:en\:y:\:(0,6)}}$

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Answer 2

a) La altura máxima que alcanza el balón es de 339,33 metros.

b) El balón ha viajado horizontalmente 669,65 metros cuando llega al suelo

c) El vértice está dado por el par ordenado

$\boxed{ \bold{ V( 333,33, 339,33)}}$

Los puntos de corte con el eje x están dados por los pares ordenados

$\boxed { \bold{ (669,65, 0) (-2,98, 0)}}$

Los puntos de corte con el eje y están dados por el par ordenado

$\boxed { \bold{ (0, 6) }}$

Procedimiento:

La función que se adjunta describe la trayectoria de un balón con respecto a su posición.

Sabemos que el balón describe una parábola de la forma:  

$\boxed{ \bold { ax^2+bx+c}}$

La cual abre hacia abajo porque a<0, por tanto su punto máximo será el vértice de la función.

Donde si hallamos la y del vértice de la función, encontraremos la altura máxima

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola?

Sea la función

$\boxed{\bold { M(x)= -0,003x^2+2x+6}}$

El valor máximo de una función cuadrática cóncava hacia abajo ocurre en su vértice y está dado por:

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} \ \ \ \ \ \to M \left( - \frac{b}{2a}\right) }}$

Determinando cuál es la altura máxima que alcanza el balón

$\boxed{ \bold {M_{max} (x) = ax^2+bx+c}}$  $\textsf{ocurre en}$  $\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} }}$

Hallaremos luego el valor de:

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} }}$

Reemplazando los valores de a y b

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{2}{2 (-0,003)} }}$

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{1}{-0,003 } }}$

$\boxed{ \bold{ x = 333,33 } }}$

Evaluamos

$\boxed{\bold { M(333,33) }}$

Sustituyendo la variable x con 333.33 en la expresión:  

$\boxed{\bold { M(x)= -0,003x^2+2x+6}}$

$\boxed{\bold { M(333,33)= -0,003(333,33)^2+2(333,33)+6}}$

$\boxed{\bold { M(333,33)= -0,003\ . \ 111111,1+2(333,33)+6}}$

$\boxed{\bold { M(333,33)= -333,33+ 666,66+6}}$

$\boxed{\bold { M(333,33)= 333,33+ 6}}$

$\boxed{\bold { M(333,33)= 339,33 }}$

Donde la altura máxima que alcanza el balón se da en el par ordenado.

que representa el vértice de la parábola que es por donde pasa su eje de

simetría

$\boxed{ \bold{V(x_{1} , y_{1}) = V( 333,33, 339,33)}}$

Alcanzando el balón su altura máxima como se observa en la gráfica en

$\boxed{ \bold{ y_{1} = , 339,33 \ metros }}$

Concluyendo que la altura máxima que alcanza la bola es de 339,33 metros  

b) ¿Qué tan lejos ha viajado la bola horizontalmente cuando llega al suelo?

La recta y = 0 representa cuando el balón se encuentra en el suelo. Para encontrar que tan lejos llega el balón, debemos encontrar el punto en el que y = 0. Es decir, el punto en x donde cae el balón

$\boxed{\bold { y= -0,003x^2+2x+6}}$

$\textsf{Igualamos la expresi\'on a 0 }$

$\boxed{\bold { -0,003x^2+2x+6 = 0 }}$

$\textsf {Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = -0,003, b =2 y c = 6 en la f\'ormula }$

$\textsf{Para resolver para x }$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -2 \pm \sqrt{ 2^2 - 4\ . (-0,003 \ . \ 6) } }{2 \ . \ -0,003} }}$

$\boxed{ \bold{x= \frac{ -2 \pm \sqrt{ 4 - 4\ . \ -0,018 } }{-0,006} }}$

$\boxed{ \bold{ x= \frac{ -2 \pm \sqrt{ 4 + 0,072 } }{-0,006} }}$

$\boxed{ \bold{ x= \frac{ -2 \pm \sqrt{ 4,072 } }{-0,006} }}$

$\textsf {La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\boxed{ \bold{ x= 669,65, -2,98 }}$

El valor máximo de x cuando y = 0 representa el alcance del balón, por tanto, tomamos el valor de x positivo para su trayectoria horizontal

$\boxed{ \bold{ x= 669,65 \ metros }}$

Concluyendo que el balón ha viajado 669,65 metros al llegar al suelo

c) Sobre los puntos de corte

A riesgo de insistir durante el desarrollo del ejercicio hemos determinado que el vértice de la parábola se halla en el par ordenado:

$\boxed{ \bold{V(x_{1} , y_{1}) = V( 333,33, 339,33)}}$

Puntos de corte sobre el eje x

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

$\boxed {\bold { ax^{2} + bx +c = 0}}$

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte:

$\boxed {\bold { (x_{1} , 0) \ y (x_{2} , 0) }}$    $\textsf{dado que }$  $\boxed{ \bold { b^{2} - 4ac > 0}}$

Luego como hemos hallado $x_{1} \ y \ x_{2}$

Los puntos de corte con el eje x están dados por

$\boxed { \bold{ (669,65, 0) (-2,98, 0)}}$

Puntos de corte sobre el eje y

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

$\boxed { \bold{ M(x) = a\ . \ 0^{2} + b \ .\ 0 + c }}$

$\boxed{\bold { M(x)= -0,003(0)^2+2(0)+6}}$

$\boxed{\bold { M(x)= 6}}$

Los puntos de corte con el eje y están dados por

$\boxed { \bold{ (0, 6) }}$

La gráfica se encuentra en el adjunto