Question

Un fruticultor calcula que si siembra 80 árboles por hectárea, cada árbol dará 600 manzanas
al año aproximadamente. Si el rendimiento promedio por árbol se reduce en 6 manzanas por
cada árbol adicional que se plante por hectárea. Expresa la producción P en función de x que
representa el número de árboles adicionales que deben plantarse y encuentra con cuantos
árboles se obtiene la máxima producción

Answer 1

Un cuadro te ayuda a visualizar cómo encontrar la ecuación:

                                         área sembrada        rendimiento por año
                                             ha                        manzanas / arbol-año

inicial                                     80                                    600

arbol adicionales                     x

reducción del rendimiento                                             - 6x
                                            -------------                      ----------------

final                                         80 + x                           600 - 6x

Producción = área sembrada * rendimiento

P = (80 + x) (600 - 6x)

=> P = 48000 - 480x + 600x - 6x^2

=> P = 48000 + 120x - 6x^2

Para encontrar con cuántos árboles se obtiene la máxima producción, puedes encontrar el vértice o aplicar la derivada de la función, ya que en el punto máximo la derivada vale cero.

Voy a hacerlo con el método del vértice:

P = - 6 [x^2 - 20x - 8000]

P = - 6 (x - 100 ) (x + 80)

P = 0 => x = 100 y x = - 80

El vértice se encuentra en el punto medio: x = (100 - 80) ) / 2 = 10

Por tanto, con 80 + x = 80 + 10 = 90 árboles se obtiene la máxima producción.