Un fruticultor calcula que si siembra 80 árboles por hectárea, cada árbol dará 600 manzanas
al año aproximadamente. Si el rendimiento promedio por árbol se reduce en 6 manzanas por
cada árbol adicional que se plante por hectárea. Expresa la producción P en función de x que
representa el número de árboles adicionales que deben plantarse y encuentra con cuantos
árboles se obtiene la máxima producción
Respuestas a la pregunta
Contestado por
10
Un cuadro te ayuda a visualizar cómo encontrar la ecuación:
área sembrada rendimiento por año
ha manzanas / arbol-año
inicial 80 600
arbol adicionales x
reducción del rendimiento - 6x
------------- ----------------
final 80 + x 600 - 6x
Producción = área sembrada * rendimiento
P = (80 + x) (600 - 6x)
=> P = 48000 - 480x + 600x - 6x^2
=> P = 48000 + 120x - 6x^2
Para encontrar con cuántos árboles se obtiene la máxima producción, puedes encontrar el vértice o aplicar la derivada de la función, ya que en el punto máximo la derivada vale cero.
Voy a hacerlo con el método del vértice:
P = - 6 [x^2 - 20x - 8000]
P = - 6 (x - 100 ) (x + 80)
P = 0 => x = 100 y x = - 80
El vértice se encuentra en el punto medio: x = (100 - 80) ) / 2 = 10
Por tanto, con 80 + x = 80 + 10 = 90 árboles se obtiene la máxima producción.
área sembrada rendimiento por año
ha manzanas / arbol-año
inicial 80 600
arbol adicionales x
reducción del rendimiento - 6x
------------- ----------------
final 80 + x 600 - 6x
Producción = área sembrada * rendimiento
P = (80 + x) (600 - 6x)
=> P = 48000 - 480x + 600x - 6x^2
=> P = 48000 + 120x - 6x^2
Para encontrar con cuántos árboles se obtiene la máxima producción, puedes encontrar el vértice o aplicar la derivada de la función, ya que en el punto máximo la derivada vale cero.
Voy a hacerlo con el método del vértice:
P = - 6 [x^2 - 20x - 8000]
P = - 6 (x - 100 ) (x + 80)
P = 0 => x = 100 y x = - 80
El vértice se encuentra en el punto medio: x = (100 - 80) ) / 2 = 10
Por tanto, con 80 + x = 80 + 10 = 90 árboles se obtiene la máxima producción.
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