un folleto explicando que son los números reales como están constituidos y sus propiedades con ejemplos
Respuestas a la pregunta
Respuesta:los números naturales son del 0 al infinito pueden ser negativos y positivos
Explicación paso a paso:
Respuesta:
1- ¿Qué son los números reales?
La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales recibe el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el símbolo
2- Propiedades
2.1- Propiedades de la suma:
a) Propiedad Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
∀ a, b ∈ R : a + b ∈ R
Ejemplo:
2 ∈ R, 4/5 ∈ R → 2 + 4/5 = 14/ 5 ∈ R
-2 ∈ R, 23 ∈ R → -2 + 23 = 21 ∈ R
b) Propiedad Asociativa:
Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales:
(a + b) +c = a + (b + c)
Ejemplos:
0.021 + (0.014 + 0.033) = (0.021 + 0.014) + 0.033
c) Propiedad Conmutativa:
El orden de los sumandos no altera la suma.
∀ a, b ∈ R : a + b = b + a
Ejemplos:
3 ∈ R, 4 ∈ R → 3 + 4 = 4 + 3
√3 ∈ R, 9 ∈ R → √3 + 9 = 9 + √3
15,87∈ R, –2.35 ∈ R →15.87 + (–2.35) = –2.35 + 15.87
d) Existencia del elemento neutro aditivo:
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
∀ a ∈ R, 0 + a = a + 0 = a
Ejemplos:
0 + 13 = 13 + 0 = 13
8763.218 + 0 = 8763.218
0 + (–56.41) = –56.51
e) Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso:
Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0.
a + ( -a) = -a + a = 0 , ∀ a ∈ R
Ejemplos:
10 + (-10) = 0
2/7 + ( -2/7) = 0
87.36 + (–87.36) = 0
–4.13 + 4.13 = 0
2.2- Propiedades de los reales en la resta o sustracción
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos:
a) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.
Ejemplo:
28.7 – 11.2 = 17.5
b) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.
Ejemplo:
11.2 – 28.7 = –17.5
c) Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.
Ejemplo:
–28.1 – 11.2 = –39.3
d) Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.
Ejemplo:
28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5
e) Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.
Ejemplo:
28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3
f) La resta no tiene todas las propiedades de la suma:
La resta no es una operación conmutativa:
Ejemplo:
52.4 – 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de 31.2 – 52.4 = –21.2
2.3- Propiedades de la multiplicación
La multiplicación tiene las siguientes propiedades:
a) Propiedad interna:
El producto de los números reales, es un número real.
∀ a, b ∈ R→ a • b ∈ R
Ejemplos:
4 • 9 = 36 ∈ R
3/4 • 5/7 = 15/28 ∈ R
b) Propiedad asociativa:
Esta propiedad dice que cuando se multiplican tres reales dados o más, el resultado es el mismo independientemente de como se agrupen y se multipliquen.
Si a, b, c, ∈ R → (a • b) • c = a • (b • c)
Ejemplos:
2 • (3 • 4) = 24 → (2 • 3) • 4 = 24
c) Propiedad conmutativa:
De acuerdo con esta propiedad, cuando dos números reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo.
Si a, b ∈ R → a • b = b • a
Ejemplos:
3 • (-8) = (-8) • 3
(-2 / 3) • (1/4) = (1/4) • (-2 / 3)
d) Elemento neutro multiplicativo:
De acuerdo con esta propiedad de los números reales, el producto de cualquier número real con elemento neutro o de identidad "1" es el mismo número real.
a • 1 = a
Ejemplos:
1/2 • 1 = 1/2
(−5) · 1 = (−5)
e) Propiedad distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a • (b + c) = a • b + a • c
Ejemplos:
π • ( 7/3 + 0,5) = π • 7/3 + π • 0,5
(−2) • (3 + 5) = (−2) • 3 + (−2) • 5
f) Elemento inverso u opuesto
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.
a • (1/ a ) = 1
Ejemplos:
5 (1/5) = 1
π (1 / π)
g) Factor común
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a • b + a • c = a • (b + c)
Ejemplos:
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
π • 3/5 + π • 0.3 = π • (3/5 + 0,3)
2.4- Propiedades de la división
- La división no es conmutativa, pues al cambiar el orden de sus términos el resultado también cambia.
Ejemplos:
10 : 2 = 5 pero 2: 10 = 0,2
40:8 = 5 pero 8:40 = 0,2
- La división No es asociativa: (8 ÷ 4) ÷ 2 = 1 pero 8 ÷ (4 ÷ 2) = 4
- Cero dividido entre cualquier númeo da cero 0: 4 = 0
- No se puede dividir por cero 8:0= no existe
- Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación.
- El cuociente no varía si se multiplica o se divide tanto el dividendo como el divisor por el mismo número. (amplificación o simplificación)
- La adición y la multiplicación de números reales satisfacen las propiedades de conmutatividad y asociatividad; cada operación tiene un elemento neutroy cada número real tiene su elemento inverso, tanto aditivo como multiplicativo (excepto el 0, que no tiene inverso multiplicativo).