Question

Un fabricante puede producir cierto articulo en 10 dólares cada pieza y luego lo vende en x dólares, la ganancia por articulo es de (x-10) dólares si se logra establecer que los clientes compran (60-x) artículos al mes, la ganancia total será:
G(x)=(60-x)(x-10)
Construya una gráfica de la función tomando el eje horizontal una escala de 10 en 10 y el vertical 200 en 200
a) ¿Cuándo estaran las ganancias al máximo?
b)¿Cuál sera la mayor ganancia obtenida?

Answer 1

Las ganancias estarán al máximo cuando cada pieza se venda en 35 dólares y la mayor ganancia obtenida será de 625 dólares.

tenemos que la función de la ganancia es:

$G\left(x\right)=\left(60-x\right)\left(x-10\right)$

Al desarrollar la expresión nos queda:

$G(x)=-x^2+70x-600$

Es una expresión cuadrática la cual su gráfica es una parábola invertida con corte en el eje x en x=60 y x=10

a)

Para el caso de una parábola invertida, si queremos el valor de x cuando la función es máxima, derivamos e igualamos a cero.

$G'(x)=-2x+70 = 0$

$x = \frac{70}{2} = 35$

b)

Por lo tanto ya tenemos el valor de x cuando la función es máxima, ahora para encontrar el valor máximo de ganancia solo sustituimos x = 35 en la función G(x).

$G\left(35\right)=\left(60-35\right)\left(35-10\right)$

$G(35) = 625$