Question

Un fabricante ofrece un descuento sobre pedidos cuyo tamaño máximo es 180. El precio del artículo es de 20 – 0.1x (en dólares) para un pedido de tamaño x (0 ≤ x ≤ 180).

a) Obtener la función r(x) que modela el ingreso proveniente de un pedido de x artículos.
b) Hallar el valor de x que maximiza a r(x)
c) Suponer que el costo de fabricar x artículos es c(x)= 10x + 100. Determinar el valor x que maximizará la utilidad p(x) = r(x) – c(x). Considerar que la utilidad e ingresos máximos (obtenidos en inciso b) se presentan en valores diferentes de x.
d) Grafique todas las funciones y marque en ellas los puntos obtenidos en inciso (b) y (c).

Answer 1

SOLUCIÓN:
 x= tamaño de pedido    
 Precio = 20 -0.1x  en dolares 

 a) r(x) =? 
      ingreso 
     x = numero de artículos del pedido 
    r( x) = x * Precio 
    r(x) = x * ( 20 - 0.1x ) 
    r( x)=  20x - 0.1 x²

  b) x=?     r(x) maximiza 
        r´(x) = 20 - 0.2x
                   20 - 0.2x=0
                       x= 20/0.2= 100
                    x= 100 máximo 

        crece ( -∞, 100)  y decrece ( 100 , + ∞) 

          r(100) = 20*(100) -0.1*( 100)² = 1000   ingreso máximo .

   c) C(x)= 10x +100 
        x=? 
         Utilidad  P( x) = r(x) -C(x) = ( 20x -0.1x²)-( 10x +100)
                      P(x) = 20x -0.1x² -10x -100
                      P(x)= -0.1x²² + 10x -100

                     P´(x) = -0.2x+10 
                            -0.2x +100=0
                                  x= 10/0.2 = 50   

          La utilidad crece ( -∞, 50)   y decrece ( 50, + ∞) 
                                  x= 50   maximiza la utilidad P(x) 

           utilidad maxima P( 50) = - 0.1(50)² + 10*(50) -100
                                      P( 50) = 150