Un fabricante de zapatos estima que cuando se producen x unidades de cierto modelo de calzado cada mes, el costo total será C(x) = 0. 4x² + 3x + 40 dólares por unidad y las x unidades de este calzado venderse a un precio de p(x)= 9 –x/25 dólares la unidad. Determinar cuál debe ser el nivel de producción del modelo de zapatos para que resulte una máxima utilidad. ¿Cuál es la máxima utilidad?
Respuestas a la pregunta
El nivel de producción del modelo de zapatos para que resulte una máxima utilidad es de aproximadamente 7 zapatos, dando una máxima utilidad es 60.44
Número cuadrático
Un término cuadrático es toda expresión que tiene en sus incógnitas (en las cuales se usan letras) una que está elevada al cuadrado (o a la dos), estos términos forman parte de una función cuadrática.
Para que un término sea cuadrático este debe estar multiplicado por sí mismo (dos veces), por ejemplo:
a² + a + 1
Podemos observar que es una función cuadrática y que su término literal es a mientras que el término cuadrático es a², es decir, a*a
¿Qué es la utilidad?
En términos generales, la utilidad no es más que los ingresos menos los costos. Esto expresado matemáticamente es:
Utilidad = Ingresos - Costos
Resolviendo:
Hallamos primero la función de los ingresos, por lo que debemos multiplicar por x (unidades de este calzado), nos quedaría:
I(x) = p(x)*x
I(x) = (9 – x/25)(x)
I(x) = 9x – x²/25
Ahora ya podemos hallar la función de la utilidad:
U(x) = I(x) - C(x)
U(x) = 9x – x²/25 - (0.4x² + 3x + 40)
U(x) = 9x – 0.04x² - 0.4x² - 3x + 40
U(x) = 6x – 0.44x² + 40
Vamos a derivar, igualamos a 0 y hallamos el valor de x:
0 = 6 – 0.88x
0.88x = 6
x = 6/0.88
x = 6.81
Este valor de x es el nivel de producción que te da la máxima utilidad. Y para hallar la máxima utilidad evaluamos:
U(6.81) = 6(7) – 0.44(7)² + 40
U(6.81) = 42– 0.44*49+ 40
U(6.81) = 42 – 21.56 + 40
U(6.81) = 60.44
Concluimos que el nivel de producción del modelo de zapatos para que resulte una máxima utilidad es de aproximadamente 7 zapatos, dando una máxima utilidad es 60.44
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