Un fabricante de cajas de cartón desea hacer cajas abiertas a partir de hojas de material de 12 pulgadas en cuadro
Cortando cuadros iguales de las 4 esquinas y doblando los lados.determinar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación:
Sean :
X : lados de los cuadrados en las esquinas a recortar de la hoja de 12x12
Y : 1er lado de la base de la caja
Z : 2do lado de la base de la caja
Y + 2X = 12 y Z + 2X = 12
volumen de la caja : V = X*Y*Z
V = X * (12-2X) * (12-2X) = X * ( 12² - 2*12*X - 2*12*X + 4X² )
V = X * ( 144 - 48*X + 4X² )
V = 144X - 48*X² + 4X³
dV / dX = 12X² - 96X + 144
En los extremos de la funcion ( max o min ) la derivada es nula
0 = 12X² - 96X + 144
ecuacion de 2do grado que resuelta dara los extremos
X = 6 y X = 2
¿ maximos o minimos ?
Para analizarlo deberemos calcular la 2da derivada o ver los valores que toma la funcion en estos puntos .
En el caso de X = 6 se ve obviamente que es un minimo y cuyo volumen seria V = 0
Asique el maximo es X = 2
Cuyos lados de la caja seran :
Y = Z = 8 y (altura) : X = 2
resultando un volumen de 128