Question

Un fabricante de atún dispone de latón para fabricar las latas cilíndricas, si el volumen estándar es de 100ml ¿Cual debe se el radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima ?

Answer 1

La superficie de la lata es la lateral más las dos bases.

S = 2 π r h + 2 π r²

Por otro lado el volumen es V = π r² h

Despejamos h: h = 100 / (π r²); reemplazamos en S.

S = 2 π r . 100 / (π r²) + 2 π r²; simplificamos:

S = 200 / r + 2 π r²

Una función es mínima en los puntos de primera derivada nula y segunda derivada positiva en dichos puntos.

Derivamos dos veces:

S' = 4 π r - 200 / r²

S'' = 4 π + 400 / r³; siendo r > 0, S'' > 0, positiva, hay mínimo en S' = 0

S' = 4 π r - 200 / r² = 0; 4 π r = 200 / r²

Queda r = ∛(50 / π) ≅ 2,52 cm

h = 100 / (π . 2,52² ≅ 5,03 cm

Smín ≅ 119,3 cm²

Adjunto dibujo de la función S con su punto crítico.

Mateo