Un fabricante de atún dispone de latón para fabricar las latas cilíndricas, si el volumen estándar es de 100 ml, ¿cuál debe ser el radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima?
amoressilvia:
como seria la grafica de maximos y minimos
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1
El radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima es de 5,42 ml y 10,89 ml respectivamente
Explicación paso a paso:
Optimizacion:
El volumen de un cilindro es
V=π(r²)h
r: es el radio
h: la altura
100 = π(r²)h
h = 100 / [π(r²)]
El área es la lateral más la de las dos bases:
Área = 2πrh + 2πr²
A= 2πr(r+h)
Sustituimos la primera ecuación en la segunda, ya que es la función objetivo
A= 2πr[r+ (100 / [π(r²)] )
A= 2πr([π(r³)+100] / [π(r²)])
A = 2([π(r³)+100] / r)
A = 2π(r²) + 200/r
Para calcular el área mínima vamos a derivar, igualar a cero y calcular las raíces.
A' = 4πr - 200/(r²) = 0
πr - 500/(r²) = 0
πr³ - 500 = 0
r = (500/π)^(1/3) = (159,15494)^(1/3)
r= 5,42 ml
h = 100 / [π(r²)]
h=10,89 ml
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