Question

Un extremo de un metro uniforme se coloca contra una pared vertical (ver figura); el otro extremo se sostiene con un cordón ligero que forma un ángulo θ con el metro. El coeficiente de fricción estática entre el extremo del metro y la pared es de 0.40. a) ¿Qué valor máximo puede tener el ángulo θ si el metro debe permanecer en equilibrio? b) Sea θ = 15◦ . Un bloque que pesa lo mismo que el metro se suspende de él, a una distancia x de la pared. ¿Qué valor mínimo de x permite al metro seguir en equilibrio? c) Si θ = 15◦ , ¿qué valor debe tener el coeficiente de fricción estática para que el bloque pueda suspenderse a 10 cm del extremo izquierdo del metro sin que este resbale?

Answer 1

Para que el metro no resbale por la pared, el ángulo máximo de la cuerda con este es de 21,8°, si con un ángulo de 15° le colgamos un bloque con el mismo peso que el metro, debemos colocarlo a por lo menos 30 centímetros de la pared para que siga en equilibrio, y si lo ponemos a 10 centímetros de la pared y queremos que siga en equilibrio, el coeficiente de rozamiento de la pared debe ser al menos 0,625.

Explicación:

Sobre el metro actúa la tensión de la cuerda y la fuerza de rozamiento con la pared, la expresión de esta última es:

$F_R=\mu.N$

Donde la fuerza normal que ejerce la pared es igual a la componente horizontal de la tensión:

$F_R=\mu.Tcos(\theta)$

Fuerza que actúa sobre el extremo que está en la pared. Sobre el otro extremo actúa la componente vertical de la tensión, para que el metro esté en equilibrio estas dos fuerzas tienen que compensar al peso del metro.

$mg=T.sen(\theta)+\mu.T.cos(\theta)$

a) Ahora en el extremo donde está la cuerda, la suma de los dos torques tiene que ser nula, ambos torques intentarán hacer pivotar el metro alrededor del extremo de la pared, actuando la tensión sobre dicho extremo y el peso sobre el centro de masas (que al ser el metro uniforme está en el punto medio):

$mg(0,5m)-T.sen(\theta).(1m)=0\\\\T=\frac{0,5mg}{sen(\theta)}$

Reemplazamos esta expresión en la del equilibrio de fuerzas:

$mg=\frac{0,5mg}{sen(\theta)}.sen(\theta)+\mu.\frac{0,5mg}{sen(\theta)}.cos(\theta)\\\\1=0,5+\frac{0,5\mu}{tan(\theta)}\\1-0,5=\frac{0,5\mu}{tan(\theta)}\\\\\theta=arctan(\frac{0,5}{1-0,5}\mu)=arctan(0,4)\\\\\theta=21,8\°$

b) Esta vez en el extremo de la cuerda la expresión de equilibrio de torques es:

$mg.x+mg(0,5m)-T.sen(\theta).(1m)=0\\mg(x+0,5)-T.sen(\theta)=0\\\\T=\frac{mg(x+0,5)}{sen(\theta)}$

Y como la sumatoria de fuerzas tiene que ser nula queda:

$2mg-T.sen(\theta)-\mu.T.cos(\theta)=0\\\\2mg-\frac{mg(x+0,5)}{sen(\theta)}.sen(\theta)-\mu.\frac{mg(x+0,5)}{sen(\theta)}.cos(\theta)=0\\\\2mg-mg(x+0,5)-\mu.\frac{mg(x+0,5)}{tan(\theta)}=0\\\\2-(x+0,5)-\mu.\frac{x+0,5}{tan(15\°)}=0\\\\2-0,5-\frac{\mu}{tan(15\°)}.0,5=x(1+\frac{\mu}{tan(15\°)})\\\\x=\frac{2-0,5-\frac{\mu}{tan(15\°)}.0,5}{1+\frac{\mu}{tan(15\°)}}=\frac{2-0,5-\frac{0,4}{tan(15\°)}.0,5}{1+\frac{0,4}{tan(15\°)}}\\\\x=0,3m$

c) Ahora si el ángulo es de 15° y el bloque se coloca a 10 centímetros de la pared, planteamos la expresión del equilibrio de fuerzas:

$2mg-mg(x+0,5)-\mu.\frac{mg(x+0,5)}{tan(\theta)}=0\\\\2-(x+0,5)-\mu.\frac{(x+0,5)}{tan(\theta)}=0\\\\\mu=\frac{2-(x+0,5)}{\frac{(x+0,5)}{tan(\theta)}}=\frac{2-(x+0,5)}{x+0,5}.tan(\theta)=\frac{2-(0,1+0,5)}{0,1+0,5}.tan(15\°)\\\\\mu=0,625$