Question

Un experto en temas de ecuaciones diferenciales
Acudo a un experto por que no entiendo la siguiente pregunta

Primera actividad
Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema 1:
Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de temperatura, en los que un objeto absorbe calor del medio circundante. Para dichos casos, se puede establecer la Ley de enfriamiento o calentamiento de Newton que dice: “La temperatura de un cuerpo se modifica a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el cuerpo y el medio externo, siempre que el medio mantenga constante su temperatura” En ese sentido, dicho fenómeno se presenta frecuentemente en la vida cotidiana y se puede aplicar en el siguiente caso: Una pequeña lámina de metal, cuya temperatura inicial es de 25 °C, se introduce en un recipiente que contiene agua hirviendo. Determinar el tiempo que dicha lámina tardará en alcanzar los 80 °C, si se tiene que su temperatura se incrementó 3 °C en un segundo, y calcular cuánto tardará la misma lámina en elevar su temperatura a 95 °C.

Answer 1

  DATOS:
     Tinicial = 25°C 
      t=? 
     T final= 80°C 
     se incremento la temperatura →  3 °C en  1 segundo. 
     t=?
      Tfinal = 95°C  
   SOLUCION:
    Ley de enfriamiento de Newton .
Del enunciado se deduce que se trata de un problema de calentamiento. La ecuación diferencial asociada a problemas de enfriamiento o calentamiento
es :    dT(t)/dt = β( Tt - Ta )
 Condiciones : t=0 s     T = 25°C
                        t = 1 s   T = 28 °C 
   Para que la lamina de metal se caliente se deja caer en un recipiente de       agua hirviendo; esto significa que la temperatura del ambiente donde la         barra se calienta , es la del agua hirviendo , es decir Ta = 100°C .
      25 <T< 100
     dT = β ( T - 100 ) dt
      dT/ ( T - 100 ) = βdt 
    ∫ dT/( T- 100) = ∫βdt      como T <100°C  con método de sustitución :
     - ∫dT/ ( 100 -T ) = ∫βdt 
        Ln(100- T) = β*t + C    con T< 100°C 
      Para t= 0 s  T = 25 °C      Ln(  100 - 25) = β*0 + C 
                                   C=  Ln(75)
        t= 1 s    T = 28 °C          Ln( 100- 28) = β* 1 + Ln(75)
                                 β= Ln(72) - Ln(75) = Ln(72/75)= Ln(24/25) 

                                                                                        t
          Ln(100 -T ) = t * Ln(24/25) + Ln(75)= Ln( ( 24/25) * (75))

                                      t
              100 - T = (²⁴/₂₅) * (75)
                                                        t
                      T (t) = 100 - (75)*(²⁴/²⁵)     
                                                                   t 
     t=?   T = 80°C     80 = 100 - ( 75)* (²⁴/²⁵)
                                                            t
                           Ln  (4/15)= Ln (₂₄/₂₅)
                                       t = Ln (4/15) / Ln(24/25) = 32.37 segundos .
                                                                      t
    t=?   T = 95°C       95 = 100 - ( 75) * (₂₄/₂₅)
                                                               t
                                Ln(1/15)  = Ln(₂₄/₂₅)
                                     t= Ln( 1/15) / Ln(24/25) = 66.33 segundos .