Question

Un estudio de mercado, realizado a 800 personas muestra que, el valor promedio de un artículo tiene una distribución normal, con un valor promedio de $ 500.000, con una desviación estándar de $ 30.000.-.

Aplique la Regla 68- 95- 99.7 y explique los resultados obtenidos.

Porcentaje Cálculo Resultado
¿Cuánto pago el 68% de las personas encuestadas?
¿Cuánto pago el 95% de las personas encuestadas?
¿Cuánto pago el 99.7% de las personas encuestadas?

Answer 1

Si el precio del artículo sigue una distribución normal con los parámetros propuestos, tenemos que el 68% de las personas pagó entre $470.000 y $530.000, el 95% de las personas pagó entre $441.200 y $558.800, y por último el 99,7% de las personas pagó $411.200 y $588.800

Explicación paso a paso:

Para analizar una distribución normal, utilizamos una campana de Gauss normalizada cuyos valores en función de una variable z están tabulados en las tablas de distribución normal, siendo la variable z igual a:

$z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

Donde X es el valor de la variable aleatoria, μ la esperanza de la variable y σ el desvío estándar.

Los valores de las tablas de distribución normal, representan la probabilidad de que z sea menor o igual al valor ingresado, por ende:

a) Tenemos que, en las tablas de probabilidad normal, hallar los valores de z cuyas probabilidades sea 0,84 y 0,16:

$p=0,68\\\alpha=1-p=0,32\\\\P(z\leq z_{max})=1-\frac{\alpha}{2}=0,84=> z_{max}=1$

$P(z\leq z_{min})=\frac{\alpha}{2}=0,16=> z_{max}=-1$

Esto porque como hay un 68% de personas que pagó entre un valor mínimo y otro máximo, hay un 16% que pagó más del máximo y otro 16% que pagó menos del mínimo del intervalo que vamos a hallar ahora.

Ahora para hallar los límites del intervalo de confianza al 68% hacemos:

$z_{max}=\frac{X-\mu}{\sigma}\\\\1=\frac{X-500.000}{30.000}=> X_{max}=530.000\\\\z_{min}=\frac{X-\mu}{\sigma}\\\\-1=\frac{X-500.000}{30.000}=> X_{max}=470.000$

b) Repetimos el procedimiento con α=1-0,95=0,05:

$z_{max}|P(z\leq z_{max})=1-\frac{\alpha}{2}=0,975=> z_{max}=1,96\\\\z_{min}|P(z\leq z_{min})=\frac{\alpha}{2}=0,025=> z_{max}=-1,96$

Ahora hallamos los límites del intervalo de confianza al 95%:

$z_{max}=\frac{X-\mu}{\sigma}\\\\1,96=\frac{X-500.000}{30.000}=> X_{max}=558.800\\\\z_{min}=\frac{X-\mu}{\sigma}\\\\-1,96=\frac{X-500.000}{30.000}=> X_{max}=441.200$

c) Repetimos el procedimiento con α=1-0,997=0,003

$z_{max}|P(z\leq z_{max})=1-\frac{\alpha}{2}=0,9985=> z_{max}=2,96\\\\z_{min}|P(z\leq z_{min})=\frac{\alpha}{2}=0,0015=> z_{max}=-2,96$

Y hallar los límites del intervalo de confianza al 99,7%:

$z_{max}=\frac{X-\mu}{\sigma}\\\\2,96=\frac{X-500.000}{30.000}=> X_{max}=588.800\\\\z_{min}=\frac{X-\mu}{\sigma}\\\\-2,96=\frac{X-500.000}{30.000}=> X_{max}=411.200$