Question

Un estudio antropológico de una tribu del centro de África ha constatado que la longitud del dedo corazón de los adultos sigue una ley normal de media 60 mm y varianza 9 mm. Si hay 800 adultos en esa tribu, determina cuántos tienen el dedo corazón

A. Más largo de 62mm
B. Más corto de 57mm
C. entre 60 y 66 mm

Answer 1

Calculamos el número de persona con determinada longitud del dedo corazón.

• Con el dedo más largo de 62 mm el número de personas es 201.
• Con el dedo más corto de 57 mm el número de personas es 127.
• Con el dedo entre 60 y 66 mm el número de personas es 382.

Datos:

Media: µ = 60 mm.

Varianza: S² = 9 mm

Desviación estándar: $S = \sqrt{S^2} = 3 \:mm$.

Número de personas: n = 800 personas.

Procedimiento:

Para calcular la probabilidad debemos estandarizar los parámetros, sabiendo que esta tiene una distribución normal. Para eso calculamos los valores de Z:

$\boxed{Z = \frac{X - \mu}{S} }$

A. Calculemos la probabilidad de las personas con el dedo más largo a 62 mm, es decir P(X ≥ 62):

$Z = \frac{62-60}{3} = 0,67$

De esta forma, ya estandarizada sabemos que debemos determinar la probabilidad de P(Z = 0,67). Para determinar los valores de probabilidad, usamos una tabla de distribución normal estandarizada Z o en el Excel usando la siguiente formula =DISTR. NORM. ESTAND. N(0,67;VERDADERO).

Así tenemos que los valores de probabilidad para P(Z = 0,67) = 0,7486, que representa los valores de la curva que están por debajo, en el lado izquierdo de la distribución. Necesitamos conocer los valores que están al lado derecho de la distribución (P(Z = 0,67), es decir que excedan esa longitud). Para eso lo restamos a uno: 1 - 0,7486 = 0,2514.

Para conocer la cantidad de personas, solo queda multiplicar esta proporción por la cantidad total (n): 800 × 0,2514 = 201 personas.

B. El número de personas con el dedo más corto de 57 mm (P ≤ 57), se calcula de la misma forma y la probabilidad se obtiene directo porque representa el área de la curva a la izquierda: 800 × 0,1587 = 127 personas.

C. Para calcular el número de personas con longitud del dedo entre 60 y 66 mm. Tenemos para 60 mm, Z = 0, P(Z = 0) = 0,5 (ATENCIÓN: la probabilidad de Z = 0 es igual tanto a la izquierda como a la derecha de la curva). Tenemos para 66 mm, Z = 2, P(Z = 2) = 0,9772. Pero este valor representa el lado izquierdo de la curva, queremos determinar el intervalo entre 0 y 2. Para eso restamos 1 - 0,9772 = 0,0228.

Finalmente para obtener el porcentaje del intervalo [60, 66] o estandarizado [0, 2], restamos los porcentajes: P(Z = 0) - P(Z = 2) = 0,5 - 0,0228 = 0,4772. Así el número de personas entre esa longitud del dedo será: 800 × 0,4772 = 382 personas.