Question

Un estudiante está parado en la azotea de un edificio de 32m de altura, lanza una moneda hacia arriba con una velocidad de 12m/s. ¿Cuanto tiempo tarda la moneda en llegar al suelo? ¿Con que velocidad llega al suelo?

Answer 1

La moneda llega al suelo en un tiempo de 2.83 segundos a una velocidad de 27.77 m/s.

El movimiento de la moneda es del tipo rectilíneo uniformemente acelerado, también llamado rectilíneo uniformemente variado. Usaremos las ecuaciones para este tipo de movimientos:

1. $Y_f = Y_0 + V_{yo}*t+ \frac{a*t^2}{2}$

2. $V_y = V_{yo} + a*t$

3. $|V_y|^2 = |V_{yo}|^2 + 2*a*(y - y_0)$

En nuestro caso, tenemos que la aceleración es igual a la aceleración debido a la gravedad, que suele llamarse g y tiene un valor de -9.8 $m/s^2$. Esto significa que $a = g = -9.8 m/s^2$

Ahora, analicemos el movimiento de la moneda. Podemos descomponerlo en dos: cuando la moneda sube al ser lanzada hacia arriba hasta alcanzar su altura máxima, y cuando cae desde ahí. Examinamos primero el movimiento hacia arriba para obtener la altura máxima, como puedes ver en la figura 1. Esto nos servirá para calcular lo que queremos.

El ascenso de la moneda:

El estudiante lanza la moneda hacia arriba con una velocidad inicial $V_{y0}$ de $12m/s$, y sube mientras la fuerza de gravedad la desacelera. Luego, cuando ya su velocidad $V_y$ es cero, ha alcanzado su altura máxima. Llamemos $y_{max}$ a la altura máxima, y como estamos midiendo la distancia desde el estudiante, la altura inicial $y_0$ cuando aún no la ha lanzado, es igual a cero. Con todos estos datos, aplicamos la ecuación 3, para obtener la altura máxima:

$0 = |V_{yo}|^2 - 2*g*(y_{max})$

Pasamos al lado izquierdo de la igualdad a 2*g*(y_max):

$2*g*(y_{max}) = |V_{yo}|^2$

Ahora pasamos 2*g al lado derecho dividiendo, despejando $y_{max}$:

4. $y_{max} = \frac{|V_y0|^2}{2*g}$

Sustituimos los datos:

$y_{max} = \frac{|12|^2}{2*9.8}$

$y_{max} = 7.34$m

Acabamos de obtener la altura máxima de la moneda. Ahora, le sumamos la distancia desde el suelo hasta el estudiante, para obtener la distancia total de caída, y la llamaremos $y_t$. Como $y_{max} = 7.347$m, y $y_{azo} = 32$m, tenemos:

$y_t = 32$m$+ 7.347$m

$y_t = 39.347$m

Pasamos a la segunda parte del problema, donde estudiamos la caída de la moneda, como en la figura 2:

La caída de la moneda:

Sabemos que la moneda parte de su punto máximo a $39.347$m, y la altura final es cuando la moneda toca el suelo, por nuestro nuevo sistema de referencias, es igual a cero. Es decir, $y = 0$, $y_0 = y_t$. Recordamos que en el punto máximo, la velocidad de la moneda es igual a cero, así que $V_{yo} = 0$. Con esto, la ecuación 3 queda:

$|V_y|^2 = - 2*g*(-y_t)$

Ambos signos negativos se cancelan, y obtenemos:

$|V_y|^2 = 2*g*y_t$

Si sacamos la raíz cuadrada a ambos lados de esta ecuación:

$|V_y| = \sqrt{2*g*y_t}$

Introducimos los datos:

$|V_y| = \sqrt{2*9.8* 39.347}$m/s

$|V_y| = 27.77$m/s

Aquí obtuvimos el valor absoluto de la velocidad, también llamada rapidez. Si queremos la velocidad, necesitamos el signo de este valor. Si la moneda se estuviera moviendo hacia arriba, la velocidad sería positiva, pero como se mueve hacia abajo, tenemos una velocidad negativa:

$V_y = -|V_y|$ (puesto que se mueve hacia abajo)

$V_y = -27.77$ m/s

Esto responde la mitad de la pregunta. Ahora calculamos el tiempo de caída.

Podemos calcular ahora el tiempo que le toma a la moneda llegar al suelo usando la ecuación 2:

$V_y = V_{yo} + a*t$

Como parte del punto máximo, y la velocidad incial en ese punto es cero, tenemos que usar $V_{yo} = 0$:

$V_y = -g*t$

Pasamos -g al otro lado izquierdo de la igualdad:

$\frac{V_y}{-g} = t$

La velocidad final $V_y$ es la que calculamos anteriormente, así que $V_y = -27.77$m/s. Introducimos los datos:

$\frac{-27.77 m/s}{-9.8 m/s^2}= t$

Y obtenemos el resultado para el tiempo:

$2.83s = t$

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