Question

Un estudiante está desarrollando su tarea y encuentra
el siguiente problema: “Si la suma de tres números en
progresión geométrica creciente es 21 y su producto
216, ¿cuáles serían esos números?”

Answer 1

Los números son 3, 6 y 12.

Denotemos los 3 números en progresión geométrica como:

• a → Primer número
• ar → Segundo número
• ar² → Tercer número

Donde a es el primer número y r es la razón de la progresión. La suma de tres números en progresión geométrica creciente es 21:

a + ar + ar² = 21

a(1 + r + r²) = 21   → Ecuación 1

El producto de los 3 números en progresión geométrica creciente es 216:

$a(ar)(ar^2) = 216$

(ar)³ = 216

Aplicamos raíz en ambos miembros:

$\sqrt[3]{(ar)^3} = \sqrt[3]{216}$

$ar = \sqrt[3]{216}$

$ar=6$  →  Ecuación 2

Despejamos a en la Ecuación 2:

$a = \dfrac{6}{r}$

Sustituimos a en la Ecuación 1:

$\dfrac{6}{r}\cdot(1 + r + r^2) = 21$

Multiplicamos por r toda la ecuación para eliminar el denominador:

$6\cdot(1 + r + r^2) = 21r$

$6+ 6r + 6r^2 = 21r$

$6r^2+6r + 6 - 21r = 0$

$6r^2-15r + 6 = 0$

$r_{1,\:2}=\dfrac{-\left(-15\right)\pm \sqrt{\left(-15\right)^2-4\cdot \:6\cdot \:6}}{2\cdot \:6}$

$r_{1,\:2}=\dfrac{-\left(-15\right)\pm \:9}{2\cdot \:6}$

$r_1=\dfrac{-\left(-15\right)+9}{2\cdot \:6},\:r_2=\dfrac{-\left(-15\right)-9}{2\cdot \:6}$

$r=2,\:r=\dfrac{1}{2}$

Para que la progresión geométrica sea creciente, debemos tomar r > 1, por tanto, descartamos r = 1/2 y tomamos r = 2.

Finalmente hallamos el valor de a despejando r =2 en la ecuación 2:

ar = 6

a·2 = 6

a = 6/2

a = 3

Luego los tres números serán:

a = 3

ar = 3·2 = 6

ar² = 3·2² = 3·4 = 12

Comprobación:

La suma de tres números en progresión geométrica creciente es 21:

3 + 6 + 12 = 21 ✅

Su producto es 216:

3·6·12 = 216

R/ Los números son 3, 6 y 12.