Question

Un estuche que contiene 4 frascos de pinturas y 2 brochas cuestan $80 mientras que otro estuche que consta de 5 frascos de pinturas y 3 brochas cuestan $110, encuentra el valor de las brochas.

Answer 1

El valor de un frasco de pintura es de $ 10

El valor de una brocha es de $ 20

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Llamamos variable "x" al valor de un frasco de pintura y variable "y" al valor de una brocha

Sabemos que un estuche que contiene cuatro frascos de pinturas y dos brochas cuesta un total de $ 80

Y conocemos que un estuche que consta de cinco frascos de pinturas y tres brochas a los mismos valores cuesta un total de $ 110

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Para establecer la primera ecuación sumamos 4 frascos de pintura y 2 brochas y la igualamos al importe que se paga de $ 80

$\large\boxed {\bold {4 x \ +\ 2y = 80 }}$          $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego para establecer la segunda ecuación sumamos 5 frascos de pintura y 3 brochas y la igualamos al importe que se paga de $ 110

$\large\boxed {\bold {5x \ + \ 3y =110 }}$        $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego despejamos y en la primera ecuación  

En  

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\large\boxed {\bold {4 x \ +\ 2y = 80 }}$

Despejamos y

$\boxed {\bold {2y = 80 -\ 4x }}$

$\boxed {\bold { \frac{\not2y}{\not2} = \frac{80}{2} -\ \frac{4x}{2} }}$

$\large\boxed {\bold { y = 40 -\ 2x }}$           $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold { y = 40 -\ 2x }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {5x \ + \ 3y =110 }}$

$\boxed {\bold {5x\ +\ 3 \ . \ (40 -2x) = 110 }}$

$\boxed {\bold {5x\ +\ 120 \ - \ 6x = 110 }}$

$\boxed {\bold {5x\ - \ 6x +\ 120 \ = 110 }}$

$\boxed {\bold {-x \ +\ 120 \ = 110 }}$

$\boxed {\bold {-x = 110-120 }}$

$\boxed {\bold {-x = -10 }}$

$\boxed {\bold {-x \ . \ (-1) = -10 \ . \ (-1) }}$

$\large\boxed {\bold { x = 10 }}$

El precio de un frasco de pintura es de $ 10

Hallamos el precio de una brocha

Reemplazando el valor hallado de x en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold { y = 40 -\ 2x }}$

$\boxed {\bold { y = 40 -\ 2 \ . \ 10 }}$

$\boxed {\bold { y = 40 -\ 20 }}$

$\large\boxed {\bold { y = 20 }}$

El precio de una brocha es de $ 20

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {4 x \ +\ 2y = 80 }}$

$\bold {4 \ frascos\ pinturas\ .\ \ \ 10 \ +\ 2 \ brochas . \ \ \ 20 = \ \ 80 }$

$\bold {\ \ 40 \ +\ \ 40 = \ \ 80 }$

$\boxed {\bold { \ \ 80 = \ \ 80 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {5x \ + \ 3y = 110 }}$

$\bold {5 \ frascos\ pinturas\ .\ \ \ 10 \ +\ 3 \ brochas . \ \ \ 20 = \ \ 110 }$

$\bold {\ \ 50 \ +\ \ 60 = \ \ 110 }$

$\boxed {\bold { \ \ 110 = \ \ 110 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$