Question

Un esquiador inicia desde el reposo en la parte superior de un plano inclinado de 20 m de alto, como se muestra en la figura 5.19. En la parte inferior del plano, el esquiador encuentra una superficie horizontal donde el coeficiente de fricción cinética entre los esquíes y la nieve es de 0.210.

a) Determine la rapidez del esquiador en la parte inferior.

b) ¿Qué distancia recorre el esquiador sobre la superficie horizontal antes de llegar al reposo? Omita la resistencia al aire.

c) Calcule la distancia horizontal que el esquiador recorre antes de llegar al reposo si además el plano inclinado tiene un coeficiente de fricción cinética igual a 0.21. Suponga que angulo=20 grados

Answer 1

La rapidez del esquiador en la parte inferior del plano inclinado es Vf = 12,89 m/s. La distancia que recorre el esquiador sobre la superficie horizontal es d= 40,33 m. La distancia horizontal que el esquiador recorre antes de llegar al reposo es Dx = 95,28 m.

 

Del diagrama de cuerpo libre del esquiador mientras baja el plano inclinado, extraemos que:

∑Fx = ma => Wx - Fr = ma

mgSen20° - μmgCos20° = ma

gSen20° - μgCos20° = a

9,8Sen20° - (0,21)(9,8)Cos20° = a

1,42 m/s² = a => Aceleración del esquiador mientras baja

 

Por otro lado tenemos que al ser un movimiento con aceleración constante se cumple que:

Vf² - Vo² = 2ad₀ ; Vo = 0

Vf² = 2ad₀ siendo

Vf: Velocidad al final del plano inclinado

a: Aceleración del esquiador

d₀: Distancia recorrida sobre el plano inclinado

 

Por otro lado, de trigonometría sabemos que:

Sen20° = 20/d₀ => d₀ = 58,48 m

 

Con este valor nos regresamos a calcular Vf

Vf² = 2(1,42)(58,48) => Vf = 12,89 m/s

 

Estando sobre la superficie horizontal, el esquiador recorre una distancia d hasta detenerse Vf = 0. En esta parte del problema la rapidez inicial Vo es la rapidez con la que llegó al final del plano inclinado

Vf² - Vo² = 2ad => -Vo₂ = 2ad

 

Del diagrama de cuerpo libre del esquiador mientras esta sobre la superficie horizontal sabemos que

∑Fx = ma => -Fr = ma

-μmg = ma => .-(0,21)(9,8) = a

a = -2,06 m/s² => Negativa porque el esquiador va desacelerando

 

Retomamos el cálculo de d

d = -Vo₂/ 2a = (-12,89)/2(-2,06)

d = 40,33 m

 

Para calcular la distancia horizontal recorrida por el esquiador antes de detenerse, necesitamos conocer la proyección horizontal del plano inclinado. Esto se calcula por trigonometría

tg20° = 20/d₁ siendo d₁: proyección horizontal del plano inclinado

d₁ = tg20°/20 => d₁ = 54,95 m

 

Entonces, la distancia horizontal Dx recorrida es

Dx = d₁ + d

Dx = 54,95 + 40,33

Dx = 95,28

Answer 2

La rapidez del esquiador en la parte inferior es: $V_{B} = 19,8m/s^{2}$. La distancia que recorre el esquiador sobre la superficie horizontal antes de llegar al reposo es: $d = 95,24m$. La distancia horizontal que el esquiador recorre antes de llegar al reposo si además el plano inclinado tiene un coeficiente de fricción cinética igual a 0.21 es: $d = 36,76m$

¿Cómo hallo incógnitas mediante l balance de energía mecánica?

La energía mecánica es la energía relacionada con el movimiento. Se descompone en tres formas básicas:

1. Energía cinética (K): Es la energía asociada a la velocidad del cuerpo. Fórmula: $K=\frac{mV^{2} }{2}$
2. Energía potencial gravitatoria (Ug): Es la energía asociada al peso del cuerpo, con capacidad de convertirse en energía cinética. Fórmula: $Ug = m*g*h$
3. Energía potencial elástica (Ue): Es la energía asociada con los resortes y la elasticidad, con capacidad de convertirse en energía cinética.

Cuando la energía mecánica se transforma de una forma a otra, se calcula mediante los balances de energía mecánica.

$\triangle EM_{AB} =EM_{B} -EM_{A}$

El teorema de trabajo de fuerzas no conservativas y la energía mecánica es:

$W_{NC}=\triangle EM=EM_f-EM_i$

IMPORTANTE: La energía no se desaparece ni disipa, sólo se transforma.

Dicho esto, procederemos a resolver el ejercicio:

Parte a:

Realizamos el balance de energía entre el punto A y el punto B:

$\triangle EM_{AB} =EM_{B} -EM_{A}=0\\\\\left \{ {{EM_{A} =U_{gA} } \atop {EM_{B}=K_{B} }} \right. \\\\U_{gA}=K_{B}\\m*g*h=\frac{mV^{2}_B }{2}$

$h$ es la altura que baja el esquiador (20m). $V_{B}$ es la rapidez que buscamos. Despejamos $V_B$:

$m*g*h=\frac{mV^{2}_B }{2}\\\\V_B = \sqrt{2*g*h} =19,8m/s$

Parte b:

Realizamos el balance de energía de B a C, pero esta vez lo igualamos al trabajo realizado por la fuerza de fricción (fuerza no conservativa presente):

$-W_{fr}=\triangle EM_{AB}\\\\K_C - K_B = -W_{fr}\\\\-\frac{mV_B^2}{2} = -m*g*$μ$*d$

Despejaremos $d$:

$\-\frac{V_B^2}{2*g*u} = d$

$d=95,24m$

Parte c:

Realizamos el balance de energía de A a C, otra vez lo igualamos al trabajo realizado por la fuerza de fricción (fuerza no conservativa presente). esta vez usamos la distancia recorrida por el esquiador en el plano inclinado y mantenemos a d como la incógnita:

$W_{fr}=\triangle EM_{AC}$

Para calcular la distancia recorrida por el esquiador en el plano inclinado, utilizamos la razón trigonométrica Sen(α).

$Sen(20)=\frac{20m}{x} \\\\x=\frac{20m}{Sen(20)}$

Realizamos el balance de energía mecánica (de A a C):

$EM_C - EM_A =W_{fr}$

$0 - m*g*h =-m*g*u*(x+d)\\\\h = u(x+d)\\\\d=\frac{h}{u} -x\\\\d=36,76m$

Para saber más de energía mecánica, visita este link: https://brainly.lat/tarea/2415846

#SPJ3