Question

Un equipo de ingenieros debe determinar a qué altura pasa un cable de alta tensión por un tramo de una ruta. El mismo es soportado por dos torres que están separadas 40 m una de la otra y tienen una altura de 10 m cada una. El cable forma una parábola que en su punto más bajo se encuentra a 5 m del suelo. Por debajo del cable pasa la ruta, cuyo eje se encuentra a 12 m de la torre de la derecha.
Determinar cual es la altura máxima que deberá permitirse para poder pasar por ese tramo de laruta.

Answer 1

La altura máxima que debe permitirse al pasar por ese tramo de la ruta es de 5,8 metros.

Explicación paso a paso:

Podemos poner el origen de coordenadas en el punto más bajo del cable, que, como la parábola es simétrica, estará a 20 metros de las dos torres (porque la distancia entre las dos torres es de 40 metros). Entonces tenemos:

$f(x)=ax^2+bx+c\\\\f(0)=a.0^2+b.0+c=5=5=>c=5\\\\f(20)=a.20^2+b.20+5=10\\f(-20)=a.(-20)^2+b.(-20)+5=10$

Restando miembro a miembro las dos últimas ecuaciones queda:

$400a+20b+5=10\\400a-20b+5=10\\----------\\400a-400a+20b-(-20b)+5-5=10-10\\40b=0\\\\b=0$

Y sumando miembro a miembro queda:

$400a+20b+5=10\\400a-20b+5=10\\----------\\400a+400a+20b+(-20b)+5+5=10+10\\800a+10=20\\\\a=\frac{20-10}{800}=0,0125$

Con lo cual, la función que expresa la altura del cable es $f(x)=0,0125x^2+5$

Si la ruta está a 12 metros de la torre de la derecha, la distancia al origen considerado (el punto medio entre las torres) es 20-12=8m. Por lo que la altura del cable sobre la ruta es:

$f(8)=0,0125.8^2+5=5,8m$