Un engrane tiene como centro el punto E (10,12) y toca uno de sus puntos exteriores una barra metálica que describe la ecuación 24x+6y+30=0
A) En que coordenadas queda el centro del engrane
B) Que medida tiene el radio del engrane
C) Determina la ecuación ordinaria de dicha circunferencia
D) Determina ecuación general
Respuestas a la pregunta
En el punto (A), el centro nos lo da el problema es (10,12), en el (B) el radio de la circunferencia es . En cuanto al (C), en una circunferencia, la ecuación ordinaria es la siguiente:
donde son las coordenadas del centro y r es el radio, esta ecuación ordinaria será lo más inmediato para hallar, y para el (D) no hay más que desarrollar los cuadrados de los binomios en esa ecuación. Vamos a explicar paso a paso como obtenemos estos resultados:
A) El centro del engrane es el que da el problema .
B) En este punto vamos a tener en cuenta que en toda circunferencia el radio es perpendicular a la circunferencia y por ende a la recta tangente. Con lo que hay que encontrar la longitud de un segmento perpendicular a la recta:
Y que pase por (10,12) que es el centro. Para hallar el vector director de la recta, pasamos de la ecuación implícita a las ecuaciones paramétricas, con lo que empezamos encontrando dos puntos, uno de x=0 y otro de y=0:
Con lo que encontramos que pertenecen a la recta los puntos
Y el vector director de esta recta será paralelo segmento que une esos dos puntos:
Este es el vector director de la recta dada, ahora podemos hallar la recta que contiene al radio, que es la recta que es normal a esta y pasa por el centro, para que dos vectores sean normales su producto escalar debe ser cero,
Uno de los vectores que cumple con ello es (4,1), las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene al radio son:
Ahora las reemplazamos las ecuaciones paramétricas de la recta normal en la de la recta que nos dieron para hallar el punto de cruce que es a su vez un punto de la circunferencia buscada
En la ecuación vectorial queda:
Con lo que queda en claro que el radio del engranaje, o sea la distancia del centro al punto de cruce de la recta tangente con la recta normal que pasa por el centro es
c)Entonces queda que la ecuación ordinaria de la circunferencia es:
Donde es el centro y r el radio queda:
D)Para hallar la ecuación general desarrollo los cuadrados: