Question

Un electrón en un pozo de potencial infinito de ancho 4,42 nm realiza una transición de n=16 a n=4, lo anterior causa que un fotón sea emitido.
A. Calcular la frecuencia y longitud de onda del fotón.
A. Calcular la energía del estado fundamental para el electrón.

Answer 1

La frecuencia y la longitud de onda del fotón emitido son respectivamente 1,12 PHz y 269 nm, y la energía del estado fundamental es de $3,08\times 10^{-21}J$.

¿Cómo hallar los niveles permitidos de energía?

Para hallar los niveles permitidos de energía para el electrón en el pozo infinito, tenemos que resolver la ecuación de Schrödinger:

$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m.E}{\hbar^2}\psi=0$

Como es una ecuación a coeficientes constantes, podemos plantear $\psi=e^{\alpha.x}$ y queda:

$\alpha^2e^{\alpha.x}+\frac{2m.E}{\hbar^2}.e^{\alpha.x}=0\\\\\alpha^2+\frac{2m.E}{\hbar^2}=0\\\\\alpha=\ñi\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar^2}}$

La solución general de la ecuación es:

$\psi=A.e^{i\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.x}+B.e^{-i\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.x}$

Como es un pozo infinito, la función $\psi$ tiene que ser cero en x<0 y en x>a, siendo 'a' el ancho del pozo, para garantizar la continuidad de la función en los límites hacemos:

$\psi(0)=A.e^{i\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.0}+B.e^{-i\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.0}=0\\\\A+B=0= > B=-A\\\\\psi(a)=A.e^{i\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.a}-A.e^{-i\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.a}=0$

Aplicando la identidad de Euler tenemos:

$\psi(a)=A.(e^{i\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.a}-e^{-i\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.a})=0\\\\\psi(a)=A(cos(\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.a)+i.sen(\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.a)-cos(\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.a)+i.sen(\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.a))\\\\\psi(a)=2A.i.sen(\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar{2}}}.a)=0$

Entonces, los niveles permitidos de energía son los siguientes:

$\sqrt{\frac{2m.E}{\hbar^{2}}}.a=n\pi\\\\E=\frac{n^2\pi^2}{a^2}.\frac{\hbar^2}{2m}=\frac{n^2h^2}{8m.a^2}$

¿Cómo hallar la frecuencia y la longitud de onda del fotón emitido?

Si el electrón cae del nivel n=16 al nivel n=4, podemos hallar el salto de energía que sufre:

$\Delta E=\frac{16^2h^2}{8m.a^2}-\frac{4^2h^2}{8m.a^2}=\frac{16^2.(6,62\times 10^{-34}Js)^2}{8.9,11\times 10^{-31}kg.(4,42\times 10^{-9}m)^2}-\frac{4^2.(6,62\times 10^{-34}Js)^2}{8.9,11\times 10^{-31}kg.(4,42\times 10^{-9}m)^2}\\\\\Delta E=7,4\times 10^{-19}J$

Utilizando la relación de Einstein podemos hallar la frecuencia y la longitud de onda del fotón emitido:

$\Delta E=hf\\\\f=\frac{\Delta E}{h}=\frac{7,4\times 10^{-19}J}{6,62\times 10^{-34}Js}=1,12\times 10^{15}Hz=1,12PHz\\\\\lambda=\frac{c}{f}=\frac{3\times 10^{8}\frac{m}{s}}{1,12\times 10^{15}Hz}=2,69\times 10^{-7}m=269nm$

¿Cómo hallar la energía del estado fundamental?

La energía del estado fundamental del electrón es aquella para la cual tenemos n=1, o sea, el primer nivel de energía:

$E=\frac{n^2h^2}{8m.a^2}=\frac{1^2(6,62\times 10^{-34}Js)^2}{8.9,11\times 10^{-31}kg.(4,42\times 10^{-9}m)^2}\\\\E=3,08\times 10^{-21}J$

Aprende más sobre la ecuación de Schrödinger en https://brainly.lat/tarea/65597438

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