Question

un edificio tiene una altura de 150 metros, ¿que medida tiene la sombra que proyecta el sol en un angulo de 60º?

Answer 1

La sombra que proyecta el edificio es de 86,60 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

Es decir en estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.  

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 por sus ángulos

• Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k (o el doble de lo que mida el primer lado) .En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura del edificio, el lado BC que representa la longitud de la sombra que proyecta el edificio y el lado AC es la proyección visual hasta la cima del edificio con un ángulo de elevación de 60°

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos la altura del edificio y de un ángulo de elevación de 60°

• Altura del edificio = 150 metros

• Ángulo de elevación = 60° (ángulo notable)

• Debemos hallar la sombra que proyecta el edificio

Vamos a relacionar estos datos con la tangente del ángulo notable

Recordando que como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold { tan(60)\° = \sqrt{3} }}$

Planteamos

$\boxed{ \bold { tan (60)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente} = \frac{AB}{BC}} }$

$\boxed{ \bold { tan (60)\° = \frac{altura \ del \ edificio }{ sombra \ del \ edificio} = \frac{AB}{BC}} }$

$\boxed{ \bold { sombra \ del \ edificio \ (BC)= \frac{altura \ del \ edificio }{tan (60)\° } } }$

Si

$\boxed {\bold { tan(60)\° = \sqrt{3} }}$

$\boxed{ \bold { sombra \ del \ edificio \ (BC)= \frac{150 \ metros }{\sqrt{3} } } }$

$\boxed{ \bold { sombra \ del \ edificio \ (BC)= \frac{150\ . \sqrt{3} }{\sqrt{3}^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { sombra \ del \ edificio \ (BC)= \frac{150 \sqrt{3} }{3} } } }$

Forma Exacta

$\boxed{ \bold { sombra \ del \ edificio \ (BC)= 50 \sqrt{3} \ metros } }$

Forma Decimal

$\boxed{ \bold { sombra \ del \ edificio \ (BC)= 86,60 \ metros } }$

La sombra del edificio = 50√3 = 86,60 metros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La altura del edificio es de 150 metros

Y resulta ser el cateto opuesto del ángulo notable de 60°

Por lo tanto al ser el cateto opuesto del ángulo notable de 60° medirá k√3

Planteamos

$\boxed {\bold { altura \ del \ edificio = 150 \ metros = \sqrt{3} k}}$

Donde despejaremos a la constante k

$\boxed {\bold { \sqrt{3} k = 150 }}$

$\boxed{ \bold { k = \frac{150 }{\sqrt{3} } } }$

$\boxed{ \bold { k = \frac{150\ . \sqrt{3} }{\sqrt{3}^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { k = \frac{150 \sqrt{3} }{3} } } }$

$\boxed{ \bold {k = 50 \sqrt{3} } }$

En decimal

$\boxed{ \bold { k = 86,60 } }$

El valor de la constante k es de 86,60

Al ser este un triángulo notable  30°- 60° el cateto adyacente al ángulo notable de 60° mide 1k. Y es este cateto el que equivale a la sombra que proyecta el edificio

Planteamos

$\boxed{ \bold { sombra \ del \ edificio \ (BC)= 1k } }$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{ \bold { sombra \ del \ edificio \ (BC)= 1 \ . \ 86,60 } }$

$\boxed{ \bold { sombra \ del \ edificio \ (BC)=\ 86,60 \ metros } }$

La sombra del edificio  = 86,60 metros