Question

Un disco hueco uniforme tiene dos trozos de alambre delgado ligero que se enrollan alrededor de su borde exterior y están sujetos al techo (figura 10.51). De repente, se rompe uno 5 de los alambres, y el alambre que queda no se desliza conforme el disco rueda hacia abajo. Utilice la conservación de la energía para calcular la rapidez del centro de este disco, después de que haya caído una distancia de 1.20 m.

Answer 1

Cuando se corta uno de los alambres y el disco rueda por el otro alambre, luego de caer dos metros alcanza una velocidad equivalente a:

$v=\frac{6,86}{\sqrt{(3-\frac{R_{int}^2}{R_{ext}^2})}}$

Se necesita conocer la relación entre el radio interior y radio exterior del disco hueco para calcular numéricamente la velocidad.

Explicación:

El disco hueco inicia como muestra la figura adjunta. Al cortarse uno de los alambres que lo sostiene y caer rodando por el otro alambre, el disco empieza a transformar su energía potencial en energía cinética, parte de ella en forma de energía cinética traslacional y parte en forma de energía rotacional. Por lo que queda:

$Mgz=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}Iw^2$

Vamos a hallar el momento de inercia del disco hueco llamando Rint a su radio interno y Rext a su radio exterior.

$I=\int\limits^{}_{S} {r^2} \, dm$

Donde el elemento diferencial de masa puede ser un anillo concéntrico al centro de masas de radios interno r y externo r+dr;

$dm=\delta_s.dA=\delta_s.\pi((r+dr)^2-r^2)\\\\dm=\delta_s.\pi(r^2+2rdr+dr^2-r^2)=\delta_s.\pi(2rdr+dr^2)\\\\dr^2<<rdr=>dm=2\delta_s.\pi rdr$

Si ahora lo reemplazamos en la integral queda:

$I=\delta_s\int\limits^{R_{ext}}_{R_{int}} {2\pi r^3} \, dr=2\pi\delta_s[\frac{r^4}{4}]^{R_{ext}}_{R_{int}}\\\\I=\pi\delta_s\frac{R_{ext}^4-R_{int}^4}{2}\\\\I=\pi\delta_s\frac{(R_{ext}^2-R_{int}^2)(R_{ext}^2+R_{int}^2)}{2}=\frac{1}{2}M(R_{ext}^2+R_{int}^2)$

Ahora como el disco rota sobre su centro de masas tenemos:

$w=\frac{v}{R_{ext}}$

Estas expresiones las reemplazamos en la ecuación de energía:

$Mgz=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}\frac{1}{2}M(R_{ext}^2-R_{int}^2).\frac{v^2}{R_{ext}^2}\\\\gz=\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{4}v^2(1-\frac{R_{int}^2}{R_{ext}^2})\\\\gz=v^2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{R_{int}^2}{4R_{ext}^2})=v^2(\frac{3}{4}-\frac{R_{int}^2}{4R_{ext}^2})$

Si de aquí despejamos la velocidad queda:

$v=\sqrt{\frac{4gz}{(3-\frac{R_{int}^2}{R_{ext}^2})}}$

Reemplazando valores queda:

$g=9,8\frac{m}{s^2}\\z=1,2m\\\\v=\sqrt{\frac{4.9,8.1,2}{(3-\frac{R_{int}^2}{R_{ext}^2})}}=\frac{6,86}{\sqrt{(3-\frac{R_{int}^2}{R_{ext}^2})}}$

Se necesita la relación entre el radio interior y el radio exterior del disco para calcular numéricamente la velocidad solicitada.