Question

Un disco compacto tiene un diámetro de 10 cm. El disco gira con aceleración
angular constante durante 10 segundos y en ese tiempo da 30 vueltas. Si al inicio
del movimiento el disco estaba en reposo, determine: a) La aceleración
centripeta a los 10 segundos b) La aceleración tangencial a los 10 segundos​

Answer 1

La aceleración centrípeta es de 17,765 m/s²

La aceleración tangencial es de 0,094 m/s²

Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado,

El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) ocurre cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular incrementando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo (t).

Donde la partícula se mueve con aceleración constante

Solución

La ecuación de desplazamiento angular está dada por

$\boxed{ \bold { \theta = \theta_{0} + \omega \ . \ t}}$

Donde

$\boxed{ \bold { \theta \ \ \ \ \ \to \\\ desplazamiento \ angular}}$

$\boxed{ \bold { \theta_{0} \ \ \ \ \to \\\ posici\'on \ inicial}}$

$\boxed{ \bold { \omega \ \ \ \ \ \to \\\ velocidad \ angular}}$

$\boxed{ \bold { t\ \ \ \ \to \\\ \ tiempo}}$

Cada vez que el disco gira dando una vuelta describe una circunferencia completa lo que equivale a 2π radianes

Luego

$\large\boxed{ \bold {\theta = 2\pi \ rad }}$

Hallamos la velocidad angular

Sabemos que el disco da 30 vueltas en 10 segundos

Si

$\boxed{ \bold { \theta = \omega \ . \ t}}$

$\boxed{ \bold {\omega = \frac{\theta}{t} }}$

Reemplazando

$\boxed{ \bold {\omega = \frac{30 \ vueltas \ . \ 2 \ \pi \ rad }{10 \ s} }}$

$\large\boxed{ \bold {\omega = 6\pi \ rad/s }}$

Hallamos la aceleración centrípeta

La aceleración centrípeta se define como una magnitud vectorial que tiene un valor y también una dirección la cual siempre apunta al centro de la circunferencia

La fórmula de la aceleración centrípeta está dada por

$\large\boxed{ \bold {a_{C} = \omega^{2} \ . \ r }}$

Como el disco tiene un diámetro de 10 centímetros, luego su radio será de 5 centímetros

Convertimos los centímetros a metros

Dividimos el valor de longitud entre 100

$\boxed {\bold { 5 \ cent\'imetros \div \ 100 = 0,05 \ metros }}$

Reemplazamos

$\boxed{ \bold {a_{C} = (6 \ \pi )^{2} \ . \ 0,05 }}$

$\boxed{ \bold {a_{C} = 6^{2} \ \pi ^{2} \ . \ 0,05 }}$

$\boxed{ \bold {a_{C} = 36 \ \pi ^{2} \ . \ 0,05 }}$

$\boxed{ \bold {a_{C} =1,8 \pi ^{2} }}$

$\boxed{ \bold {a_{C} =17,765287 \ m /s^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold {a_{C} =17,765 \ m /s^{2} }}$

Hallamos la aceleración tangencial

La aceleración tangencial se presenta cuando la velocidad tangencial de un cuerpo cambia, lo que lleva a que se origine un movimiento circular uniformemente variado

La relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular en este movimiento es

$\large\boxed{ \bold {a_{T} =\alpha \ . \ r }}$

Si

$\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{\omega}{t}}}}}$

Reemplazamos    

$\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{6\pi }{10 \ s}}}}}$

$\boxed{\bold{\alpha= 0,6\pi \ rad/s^{2} }}}}}$

Reemplazamos en

$\large\boxed{ \bold {a_{T} =\alpha \ . \ r }}$

$\boxed{ \bold {a_{T} =0,6\pi \ . \ 0.05 }}$

$\boxed{ \bold {a_{T} =0,094247 \ m/s^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold {a_{T} =0,094 \ m/s^{2} }}$