Question

un depósito para granos es construido acoplando a un cilindro circular recto, de altura h y radio r, una semiesfera de radio r. Si el area total de la superficie del depósito es 20π m², determine el valor de r y h para que de volumen sea máximo.

Answer 1

El valor del radio r  y la altura h del depósito para que de volumen sea máximo es:

• r = 1.58 m
• h = 3.16 m

¿Qué es un cilindro, su área y volumen?

Es el cuerpo geométrico que se forma al hacer girar un rectángulo sobre un eje fijo.

El área es la suma del área lateral y el área de la base.

A = 2π · r · h + 2π · r²

El volumen se obtiene mediante la fórmula:

V = π · r²· h

¿Qué es una esfera, su área y volumen?

Es el cuerpo geométrico que se forma al hacer girar un arco desde un eje fijo.

El área de una esfera se obtiene mediante:

A = 4π · r²

El volumen se obtiene aplicando la fórmula:

V = 4/3 π · r³

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

¿Cuál es el valor de r y h para que de volumen sea máximo?

Siendo;

At  = 20π m²

El área del depósito es la suma del área del cilindro y la semiesfera.

At = 2π · r · h + 2π · r² + (4π · r²)/2

At = 2π · r · h + 2π · r² + 2π · r²

Agrupar;

At = 2π · r (h + 2r)

20π = 2π r (h + 2r)

Despejar h;

r (h + 2r)= 20/2

rh + 2r² = 10

h = -2r²/r + 10/r

h = -2r + 10/r

El volumen del depósito:

V = π · r²· h +  2/3 π · r³

Sustituir h;

V = π · r²· (-2r + 10/r) +  2/3 π · r³

V = -2 π · r³ + 10π · r +  2/3 π · r³

V = -4/3 π · r³ + 10π · r

Aplicar primera derivada;

V' = d/dr (-4/3 π · r³ + 10π · r)

V' = -4π r² + 10π

Aplicar segunda derivada;

V'' = d/dr (-4π r² + 10π)

V'' = -8π r

Igualar a cero V';

-4π r² + 10π = 0

4π r² = 10π

r² = 10/4

r = √(10/4)

r = 1.58 m

Sustituir:

h = -2[√(10)/2] + 10/[√(10)/2]

h = √(10) ≈ 3.16 m

Puedes ver más sobre optimización y volumen aquí:

https://brainly.lat/tarea/13504125

https://brainly.lat/tarea/10753982

#SPJ1