Question

Un delantero ve que el arquero se encuentra adelantado, e intenta hacer un gol pateando el balón por arriba del arquero, desde una distancia horizontal de x = 36 m medidosdesdela líneademetahastaelpiedeldelantero. Para realizar el gol, el balón tiene que pasar por debajo de la barra transversal del arco(travesaño), que se ubica a 2,42 m de altura respecto al suelo y sobre la línea de meta. Cuando el delantero patea el balón, este deja el suelo con una velocidad de magnitud igual a 20 m/s en un ángulo de θ = 53º con respecto a la horizontal, siguiendo la trayectoria que se muestra en la figura(2). Despreciando el efecto del aire y considerando la magnitud de g = 9,8 m/s2:
a) Escriba la posición horizontal del balón con respecto a la línea de meta (función x(t)) en función de los parámetros iniciales.
b) ¿Qué tipo de movimiento realiza el balón en ladirección X?.
c) Escriba la posición vertical del balón (función y(t)) en función de los parámetros iniciales.
d) ¿QuétipodemovimientorealizaelbalónenladirecciónY?.
e) Deduzca la función y(x) de la trayectoria del balón.
f) ¿Qué tipo de trayectoria realiza el balón?.
g) ¿Cuántotiempotardaelbalónenllegaralalíneademeta?.
h) Establezca si el delantero logra anotar el gol.

Answer 1

Las respuestas a cada inciso son:

a) la posición horizontal es x=12m/s.t

b) Es un movimiento rectilíneo uniforme.

c) La posición vertical es $y=16\frac{m}{s}t-4,9\frac{m}{s^2}t^2$

d) Es un movimiento uniformemente acelerado.

e) La expresión de la trayectoria es $y=1,33x-0,0338x^2$

f) La trayectoria tiene forma de parábola.

g) El balón llega a la línea de meta al cabo de 2,99 segundos.

h) El delantero no logra anotar el gol.

Explicación:

a) La posición horizontal del balón, considerando la posición del delantero como (0,0) es:

$x(t)=v_0.cos(\theta).t=20\frac{m}{s}.cos(53\°).t\\\\x(t)=12\frac{m}{s}.t$

b) Siendo el movimiento que realiza el balón en la dirección X un movimiento rectilíneo uniforme.

c) El movimiento vertical del balón en cambio es afectado por la aceleración gravitatoria, considerando (0,0) la posición del delantero queda:

$y(t)=v_0.sen(\theta).t-\frac{1}{2}gt^2\\\\y(t)=20\frac{m}{s}.sen(53\°).t-\frac{1}{2}.9,8\frac{m}{s^2}t^2\\\\y(t)=16\frac{m}{s}t-4,9\frac{m}{s^2}t^2$

d) En la posición vertical el balón realiza entonces un movimiento uniformemente acelerado.

e) Podemos empezar despejando el tiempo de la expresión de la posición horizontal:

$t=\frac{x}{v_0.cos(\theta)}$

Y luego lo reemplazamos en la expresión de la posición vertical:

$y(x)=v_0.sen(\theta).\frac{x}{v_0cos(\theta)}-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2.cos^2(\theta)}\\\\y(x)=x.tan(\theta)-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2.cos^2(\theta)}\\\\y(x)=x.tan(53\°)-\frac{1}{2}9,8\frac{m}{s^2}\frac{x^2}{(20\frac{m}{s})^2.cos^2(53\°)}\\\\y(x)=1,33x-0,0338x^2$

f) En esta expresión vemos claramente que el balón sigue una trayectoria en forma de parábola cóncava hacia abajo.

g) Tenemos que el delantero está a 36 metros de la línea de meta por lo que el tiempo nos lo da la expresión de la posición horizontal:

$t=\frac{x}{v_0.cos(\theta)}=\frac{36m}{20\frac{m}{s}.cos(53\°)}\\\\t=2,99s$

h) Con el mismo dato de la distancia desde el delantero hasta la línea de meta podemos hallar a qué altura está el balón cuando la cruza:

$x=36m=>y(x)=1,33.(36m)-0,0338(36m)^2\\\\y=4,08m$

Como el travesaño está a 2,42 metros de altura, el balón pasa por encima de él por lo tanto el delantero no logra anotar el gol.