Question

Un curso está formado por 11 niñas y 16 niños. Si se quiere formar una comisión de tres estudiantes en la que debe haber a lo menos dos niños, ¿Cuántas combinaciones hay?

Answer 1

                         COMBINATORIA

Al decirnos que "por lo menos" deben haber dos niños en la comisión, hay que entender que no nos excluye que pueda haber tres niños, es decir, que no haya niñas,  así que a partir de ello ya hemos de realizar dos cálculos distintos.

Si consideramos que habrá dos niños en la comisión hemos de combinarlos entre ellos tomando el número total de niños y formando grupos de dos así que se recurre a la fórmula del modelo combinatorio llamado COMBINACIONES y para este ejercicio es:

COMBINACIONES DE 16 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 2 EN 2 (n)

$C_m^n=\dfrac{m!}{n!\times (m-n)!} \ ...\ sustituyendo\ ...\\ \\ \\ C_{16} ^2=\dfrac{16!}{2!\times (16-2)!} =\dfrac{16\times 15\times 14!}{2\times 1\times 14!} =\dfrac{16\times 15}{2} =120$

Así he calculado que se pueden formar 120 grupos de 2 niños.

Si la comisión la forman dos niños y una niña, lo que ahora procede para saber el total de combinaciones posibles teniendo en cuenta eso, es multiplicar los 120 grupos de dos niños por el nº de niñas ya que cada grupo de niños podrá tener a cualquiera de esas 11 niñas.

Nº de comisiones formadas por dos niños y una niña serán:

120×11 = 1.320 comisiones.

Ahora queda calcular cuántas comisiones pueden formarse solo con niños y para ello recurrimos a la misma fórmula de combinaciones que en este caso será:

COMBINACIONES DE 16 ELEMENTOS TOMADOS DE 3 EN 3

$C_{16} ^3=\dfrac{16!}{3!\times (16-3)!} =\dfrac{16\times 15\times 14\times 13!}{3\times 2\times 1\times 13!} =\dfrac{3360}{6} =560$

Así he calculado que se pueden formar 560 comisiones de 3 niños con los 16 niños sin colocar ninguna niña.

El resultado final es la suma de los dos cálculos:

Total de comisiones = 1320 + 560 = 1.880