Question

¿Un cuerpo vibra con un M.A.S. de amplitud igual a 15 cm y frecuencia 4 vib/seg?
Un cuerpo vibra con un M.A.S. de amplitud igual a 15 cm y frecuencia 4 vib/seg, Calcular:
1. Los valores máximos de aceleración y velocidad.
2. La aceleración y la velocidad cuando el valor de la elongación es de 9 cm.
3. El tiempo necesario para ir del equilibrio a un punto situado a 12 cm

Answer 1

La ecuación del movimiento es:

x = A cos(ω t + Ф)

A = amplitud

ω = frecuencia angular = 2 π f

Ф = fase inicial. Sin datos para hallarla, la supondremos nula. Implica que el movimiento se inicia en el extremo derecho de la trayectoria.

x = 0,15 m cos(2 π . 4 t) = 0,15 m cos(8 π rad/s t)

1) La velocidad máxima es v = A ω = 0,15 m . 8π rad/s = 3,77 m/s

a = A ω² = 0,15 m (8 π rad/s)² = 94,7 m/s²

2) La velocidad es la derivada de la posición. v = - A ω sen(ω t)

Despejamos seno y coseno:

sen(ω t) = - v/(A ω)
cos(ω t) = x/A; sumamos los cuadrados:

[v/(A ω)]² + (x/A)² = 1; despejamos v:

v = ω √(A² - x²) (velocidad en función de la posición)

La aceleración es la derivada de la velocidad:

a = - A ω² cos(ω t) = - ω² x (aceleración en función de la posición)
 
2) a = - (8 π rad/s)² . 0,09 m = - 56,8 m/s²

v = 8 π rad/s √(0,15² - 0,09²) m = 3,02 m/s

Debe considerarse negativa porque se acerca hacia el origen

3) Supongamos x = 12 cm dirigiéndose a la izquierda:

0,12 m = 0,15 m cos(8 π t)

cos(8 π t) = 0,12 / 0,15 = 0,8; de modo que

8 π rad/s t = 0,6435 rad

t = 0,6435 rad / (8 π rad/s) = 0,0256 segundos

Adjunto gráfico de la posición donde se destaca el punto (0,0256; 0,12)

Saludos Herminio