Question

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ecuación de velocidad inicial v=t^3+〖4t〗^2+2; cuando su t= 2 seg su posición es 4m . Hallar la posición del cuerpo a los t= 3seg. ​

Answer 1

La función velocidad de tu problema es:

$v(t)=t^3+(4t)^2+2\\v(t)=t^3+16t^2+2$

Para hallar la posición, igualamos la función velocidad como la derivada de la posición:

$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}\\\\\therefore \frac{dx(t)}{dt} =t^3+16t^2+2$

Pasamos el diferencial dt del otro lado, e integramos:

$dx=(t^3+16t^2+2)dt\\\\\int dx=\int (t^3+16t^2+2)dt\\\\x=\frac{1}{4}t^4+\frac{16}{3}t^3+2t+C\\\\\therefore x(t)=\frac{1}{4}t^4+\frac{16}{3}t^3+2t+C$

Esta sería la función posición. Y para hallar C (la constante de integración), hacemos uso del dato: "cuando su t= 2 seg su posición es 4m"

$x(2)=4\\\\x(2)=\frac{1}{4}(2)^4+\frac{16}{3}(2)^3+2(2)+C=4+\frac{128}{3} +4+C=\frac{176}{3}+C\\\\\therefore \frac{176}{3}+C=4\\\\C=4-\frac{176}{3}\\\\C=-\frac{164}{3}$

Entonces, la función posición quedaría así:

$x(t)=\frac{1}{4}t^4+\frac{16}{3}t^3+2t-\frac{164}{3}$

Y ahora, si, calculamos lo que piden: la posición cuando t=3

$x(3)=\frac{1}{4}(3)^4+\frac{16}{3}(3)^3+2(3)-\frac{164}{3}\\\\x(3)=\frac{81}{4}+144+6-\frac{164}{3}\\\\x(3)=\frac{1387}{12} m \approx 115.583m$

Respuesta: 115.583m