Question

- Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 36,0 m/s. Determine
a) ¿Qué altura máxima alcanzará? b) ¿Qué tiempo tardó en subir?
c) ¿Cuánto tiempo dura en el aire?

Answer 1

a) La altura máxima que alcanza el cuerpo es de 66.12 metros

b) El tiempo de subida del proyectil es de 3.67 segundos, el cual es el tiempo necesario para alcanzar la altura máxima

c) El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del cuerpo es de 7.34 segundos

Se trata de un problema de tiro vertical

En el tiro vertical un objeto es lanzado verticalmente con determinada velocidad inicial hacia arriba o hacia abajo

Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) o movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) en el que la aceleración coincide con el valor de la gravedad.

La aceleración de la gravedad se puede considerar constante y dirigida hacia abajo.

Si se establece un sistema de referencia en el plano cartesiano el objeto se encuentra sobre el eje y, donde  $\bold { y_{0} = H }$

Y donde el cuerpo parte con determinada velocidad inicial, siendo su aceleración constante y esta toma el valor de la gravedad.

$\large\textsf{Donde se pueden tener dos casos seg\'un el sistema de referencia }$

$\large\textsf{Tiro vertical hacia arriba } \bold { \ donde \ la \ velocidad \ inicial\ V_{0} > 0 }$  

Siendo las ecuaciones

$\boxed {\bold { y = H \ + \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\textsf{ Donde} \ \ { \bold { a= g } \ \textsf{ y es siempre constante} }$

$\large\textsf{Tiro vertical hacia abajo } \bold { donde \ la \ velocidad \ inicial\ \ V_{0} < 0 }$

Siendo las ecuaciones

$\boxed {\bold { y = H \ + \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\textsf{ Donde} \ \ { \bold { a= g } \ \textsf{ y es siempre constante} }$

Solución

a) Hallamos la altura máxima alcanzada por el cuerpo

$\large\textsf{Se tiene un tiro vertical hacia arriba }$

La altura máxima está dada por la ecuación:

$\large\boxed {\bold {H_{MAX} = \frac{(V_{0})^{2} }{2g} }}$

$\boxed {\bold {H_{MAX} = \frac{(36 \ m / s)^{2} }{2 \ . \ 9.8 \ m/ s^{2} } }}$

$\boxed {\bold {H_{MAX} = \frac{1296 \ m^{\not2} / \not s^{2} }{ 19.6 \not m/ s^{2} } }}$

$\boxed {\bold {H_{MAX} = 66.1224 \ m }}$

$\large\boxed {\bold {H_{MAX} = 66.12\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el cuerpo es de 66.12 metros

b) Hallamos el tiempo que empleó en subir

El tiempo que tarda el cuerpo en subir está dado por:

$\large\boxed {\bold {V_{f} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

Cuando el proyectil alcanza su altura máxima ya no sube más y en ese instante de tiempo su velocidad final es cero

$\bold { V_{f} = 0 }$

$\boxed {\bold {V_{f} = 0 \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t_{subida} }}$

$\large\textsf{Despejando el tiempo que tarda en subir }$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{V_{0} }{g} }}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{36 \not m / \not s }{ 9.8 \not m/ s^{\not2} } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = 3.67 \ segundos }}$

El tiempo de subida del proyectil es de 3.67 segundos, el cual es el tiempo necesario para alcanzar la altura máxima

c) Hallando el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

Como el tiempo que tarda un cuerpo en subir es el mismo que tarda en bajar luego

$\large\textsf{El tiempo de permanencia en el aire es }$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = t_{vuelo} }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 2\ t_{subida} }}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold {t_{aire} = 2\ . \ (3.67 \ s ) }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 7.34 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del cuerpo es de 7.34 segundos