un cuerpo se encuentra en el aire el cual posee una temperatura de 43°c el cuerpo se enfria de 150°c a 90°c en 40 minutos
a) Encuentra la ecuación diferencial que describe el proceso
b) Resuelva la ecuación diferencial
c) Encuentra la constante de integración
d) Encuentra la constante de proporcionalidad
e) ¿Determina la temperatura del cuerpo en cualquier instante?
f) ¿Cuánto se enfriará en 20 minutos más?
Respuestas a la pregunta
a) dT/dt = k(T-Tm)
b) T = Ce^kt + Tm
c) C = 107
d) K = -0,0205
e) T(t) = 107e^-0,0205t + 43
f) T(60) = 74,28°C
Explicacion paso a paso:
La ecuación que describe el proceso es:
dT/dt = k(T-Tm)
Donde:
Tm = temperatura de ambiente
T = temperatura del cuerpo
k = constante de proporcianibilidad
t = tiempo
utilizando el método de variables separadas, se obtiene:
dT/(T-Tm) = kdt
integrando ambos lados:
∫dT/(T-Tm) = k∫dt
ln (T - Tm) = kt + C
Simplificando:
T-Tm = e^(kt)*e^C ; e^C = C (Constante)
T = Ce^kt + Tm
Temperatura de ambiente= 43°c y T(t=0)=150°c
T(0) = 150 = Ce^k.0 + 43
C = 150 - 43 = 107
Temperatura en t=40min = 90°c
T(40) = 90 = 107e^k.40 + 43
e^k.40= 90- 43 /107
40k = ln (47/107)
k = ln (47/107)/40
k = -0,0205
Entonces, la temperatura en cualquier instante viene dado por la ecuacion:
T(t) = 107e^-0,0205t + 43
En 20 minutos mas seria un un tiempo de 60min, la temperatura sera de:
T(60) = 107e^-0,0205*60 + 43
T(60) = 74,28°C