Question

Un cuerpo de masa m se mueve en l´ınea recta hacia el punto O el cual lo atrae con una fuerza βm/ x3 , donde x es la distancia del cuerpo al punto O. El movimiento comienza del estado de reposo en x = α. Hallar el tiempo en que el cuerpo llega al punto O.

Answer 1

Calculamos el tiempo en que el cuerpo llega al punto O.

• El tiempo es $t = \sqrt{\frac{\big{2x^3(x-\alpha)}}{\big{\beta}}}$

Datos:

Masa del cuerpo: m = m.

Fuerza de atracción: $F = \frac{\big{\beta*m}}{\big{x^3}}$

Distancia desde el punto O: x = x.

Velocidad inicial: V₀ = 0.

Distancia inicial: x = α.

Procedimiento:

A partir de la ecuación de la fuerza, determinamos la aceleración del cuerpo:

$\boxed{F = m*a} \quad \longrightarrow \frac{\big{\beta*m}}{\big{x^3}} =  m*a \quad \longrightarrow a = \frac{\big{\beta}}{\big{x^3}}$

A partir de la formula de distancia de un movimiento acelerado tenemos que:

$\boxed{X = X_0 +V_0*t + \frac{1}{2}*a*t^2 }$

Como la velocidad inicial es cero, reemplazando los valores y despejando el tiempo nos queda:

$x = \alpha + \frac{\big{1}}{\big{2}}*\frac{\big{\beta}}{\big{x^3}}*t^2 \quad \longrightarrow t = \sqrt{\frac{\big{2x^3(x-\alpha)}}{\big{\beta}}}$