Un cuerpo de masa m cae desde el reposo en el aire. El aire ofrece una fuerza de resistencia viscosa proporcional a la velocidad: F = b v, siendo b la constate viscosa.
¿Cuál es la velocidad máxima que alcanza el cuerpo? Encuentre una función que determine la velocidad en función del tiempo. Suponga una constante viscosa b = 10 en unidades del SI. Si puede realice la gráfica v - t
Respuestas a la pregunta
Se supone que la altura de caída es la suficiente para alcanzar la velocidad máxima, también llamada velocidad límite o velocidad terminal.
Las fuerzas sobre el cuerpo son:
El peso, hacia abajo, y la fuerza viscosa, hacia arriba.
Entre las dos suministran la aceleración del cuerpo.
m g - b v = m a
La velocidad máxima se alcanza cuando la aceleración es nula.
v = m g / b = 70 kg . 10 m/s² / 10 N s/m = 70 m/s
Debemos hallar la velocidad.
Se sabe que la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo.
a = dv/dt
m g - b v = m dv/dt
O bien g - b/m v = dv/dt
dt = dv / (g - b/m . v); reemplazamos valores numéricos. Omito unidades.
dt = dv / (10 - 1/7 v)
Integramos sabiendo que para t = 0, es v = 0
Hacemos una sustitución: 10 - 1/7 v = u: du = - 1/7 dv; dv = - 7 du
Queda: dt = - 7 du / u
La integral queda t = - 7 ln(u)
t = - 7 ln(10 - v/7); debemos despejar v
ln(10 - v/7) = - t/7
10 - v/7 = e^(-t/7)
v = 70 m/s [1 - e^(- t/7)]
Es una función exponencial creciente con límite 70 m/s si t es suficientemente grande.
Adjunto gráfico de la función. Se observa que para t = 50 segundos ya se aprecia la velocidad máxima de 70 m/s
Saludos.
