Un cuerpo de 80 g, unido al extremo de un resorte horizontal, describe un movimiento armónico simple con una amplitud de 5cm.
a. Escribe la ecuación de un movimiento del cuerpo sabiendo que su energía cinética máxima es de 2,5 x 10^-3 J y que en el instante t=0 el cuerpo pasa por su posición de equilibrio.
b. Representa gráficamente la energía cinética del cuerpo en función de la posición e indica el valor de la energía mecánica. Describe las transformaciones energéticas que tienen lugar.
Ayudaaaa... porfavor!!!
Respuestas a la pregunta
Un cuerpo de 80 g está unido al extremo de un resorte horizontal, describiendo un movimiento armónico simple. Respondemos las preguntas.
Datos
A = 5 cm = 0.05 m
Ec_max = 2,5 x 10^-3
m = 80 g = 0.08 kg
a) La ecuación del movimiento del cuerpo unido al resorte viene dada:
x(t) = A*sen(ωt+Φ) (1)
El ángulo Φ se determina sabiendo que en t=0 el cuerpo pasa por su posición de equilibrio (x=0).
x(0) = A*sen(ω*0+Φ)
0 = A *sen(Φ)
Φ = 0
Para hallar ω primero determinamos la velocidad:
v(t) = dx(t)/dt
v(t) = ωA*cos(ωt+Φ)
Energía cinética:
Ec = (1/2)*m*v^2
Ec = (1/2)*m*(ωA)^2 * cos^2(ωt+Φ) (2)
La energía cinética máxima es el término que multiplica al coseno, sustituyendo se determina ω:
Ec_max = (1/2)*m*(ωA)^2
2,5 x 10^-3 = (1/2) * 0.08 *(ω*0.05)^2
ω = 5 rad/s
Sustituyendo A, ω y Φ en (1) se obtiene la ecuación de movimiento:
x(t) = 0.05 * sen(5t)
b) Energía cinética en función de la posición.
La energía cinética es según la ecuación (2):
Ec = 2,5 x 10^-3 * cos^2(5t)
Apliquemos una identidad trigonométrica y relacionemos con (1):
Ec = 2,5 x 10^-3 * [1-sen^2(5t)]
Ec = 2,5 x 10^-3 * [1-sen^2(5t)]
Ec = 2,5 x 10^-3 * [1-(x(t)/0.05)^2]
Ec = 0.025 - x(t)^2
La gráfica se muestra en la figura. La energía cinética es igual a la energía mecánica porque al ser el movimiento horizontal no hay energía potencial.
