Question

un cuerpo de 13kg de masa inicialmente en reposo, estalla dividiendose en tres fragmentos, dos de los trozos,cada uno con 5kg de masa, se mueven con una velosidad de 12m/s y formando entre si un angulo de 60°.¿con que velosidad se mueve el tercer fragmento?

Answer 1

El problema se soluciona mediante la conservación del momento lineal. Antes de que el cuerpo estallara y en su sistema de referencia en reposo, el momento del sistema era cero. Una vez estalla, los tres fragmentos poseen momentos lineales $\vec{p}_{1}, \vec{p}_{2}, \vec{p}_{3}$, pero el momento lineal total del sistema debe seguir siendo cero, esto es
$\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}+\vec{p}_{3}=0$
¿como vamos a resolver el problema? bueno, el momento de cada trozo es el producto de su masa por su velocidad
$\vec{p}_i=m_i\vec{v}_i$
asi que conocemos los valores de $\vec{p}_1$ y $\vec{p}_2$, y mediante nuestra expresión sobre la conservacion del momento, vamos a despejar $\vec{p}_3$ , de donde a su vez despejaremos la velocidad del mismo $\vec{v}_1$.
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el primer trozo sale en dirección del eje $x$, entonces
$\vec{p}_1=5\cdot12\widehat{x}=60<span>\widehat{x}</span>$
Para el segundo pedazo, este sale con un ángulo de 60 grados respecto del primero, entonces (haz el dibujo en el plano !!):
$\vec{p}_2=5\cdot(12\cos(60)\widehat{x}+12\sin(60)\widehat{y})\\ =30\widehat{x}+30 \sqrt{3} \widehat{y}$
Entonces
$\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}+\vec{p}_{3}=0\\ 60\widehat{x}+30\widehat{x}+30 \sqrt{3} \widehat{y}+\vec{p}_{3}=0\\ \vec{p}_{3}=-90\widehat{x}-30 \sqrt{3} \widehat{y}$
Sabemos también que la suma de las masas de los tres pedazos tiene que ser igual a 13 kilos, y como los dos primeros masan 5 kg cada uno, el tercero debe masar 3 kg. Con esto podemos encontrar la velocidad del tercer pedazo:
$\vec{p}_{3}=-90\widehat{x}-30 \sqrt{3} \widehat{y}\\ m_3\vec{v}_3=-90\widehat{x}-30 \sqrt{3} \widehat{y}\\ 3\vec{v}_3=-90\widehat{x}-30 \sqrt{3} \widehat{y}\\ \vec{v}_3=-30\widehat{x}-10 \sqrt{3} \widehat{y}$
Esta es la velocidad del tercer trozo. Ahora, si por su rapidez te refieres (el módulo de la velocidad) esta viene dada por:
$|\vec{v}_3|=\sqrt{(-30)^2+(-10\sqrt{3})^2}=20\sqrt{3}$ m/s
o aproximadamente
$|\vec{v}_3|\approx 34,641$ m/s