Question

Un cubo de acero que flota en un recipiente con mercurio líquido a 0 °C (a) Si se eleva la temperatura a 40,0 °C, ¿el cubo flotará más arriba o más abajo en el mercurio? (b) Determine el porcentaje en que cambió la fracción de volumen sumergido.

Answer 1

Si la temperatura va de 0°C a 40°C el cubo flota más arriba con un 0,58% más de volumen por encima de la línea de flotación.

Explicación:

Cuando aumenta la temperatura tanto el mercurio como el hierro se dilatan y su masa se mantiene igual modificándose la densidad, por ende tenemos:

a) Para ambos cuerpos la nueva densidad es:

$V=V_0(1+\alpha\Delta T)\\\\\delta=\frac{m}{V}=\frac{m}{V_0(1+\alpha\Delta T)}=\frac{\delta_0}{(1+\alpha\Delta T)}$

Aplicando el principio de Arquímedes poniendo en el primer miembro la masa del cubo y en el segundo la masa de mercurio desplazada queda:

$\delta_{Fe}.V=\delta_{Hg}.V_s\\\\\delta_{Fe}.A.h=\delta_{Hg}.A.h_s\\\\\delta_{Fe}.h=\delta_{Hg}.h_s\\\\h_s=\frac{\delta_{Hg}}{\delta_{Fe}}h$

Si la temperatura aumenta de 0 a 40°C podemos introducir los coeficientes de dilatación volumétricos:

$h_s=\frac{\delta_{Hg}}{\delta_{Fe}}\frac{1+\Delta T.\alpha_{Fe}}{1+\Delta T.\alpha_{Hg}}h=\frac{1+\Delta T.\alpha_{Fe}}{1+\Delta T.\alpha_{Hg}}h_{s}(0\°C)$

La relacion entre las dilataciones queda:

$\frac{1+\Delta T.\alpha_{Fe}}{1+\Delta T.\alpha_{Hg}}=\frac{1+40\°C.35,1\times 10^{-6}}{1+40\°C.182\times 10^{-6}}=0,9942$

La altura hs que es la del volumen sumergido del cubo es menor a 40°C que a 0°C. Por lo que el cubo flota más arriba.

b) Como es un cubo, el área transversal es siempre igual, por lo que la proporción de volumen sumergida es igual que la proporción de altura sumergida. El porcentaje en que cambia la fracción de volumen es:

$r=(1-\frac{1+\Delta T.\alpha_{Fe}}{1+\Delta T.\alpha_{Hg}}).100\%=(1-\frac{1+40\°C.35,1\times 10^{-6}}{1+40\°C.182\times 10^{-6}}).100\%=0,58\%$