un coronel tiene su mando 1162 soldados y quiere formar con ellos un rectángulo para una exhibición de modo que la primera fila tenga 1 soldado,la segunda 4 ,la tercera 7 ,la cuarta 10 etc . cuántas filas habrá de formar ?, cuántos soldados habrá en las dos últimas filas ?
Respuestas a la pregunta
Estamos ante una progresión aritmética ya que el nº de soldados de cada nueva fila tiene 3 soldados más que la anterior y así tenemos que en la primera fila hay 1 soldado, en la segunda hay 4, en la tercera hay 7 ... etc... así que queda claro que la diferencia entre términos consecutivos es:
Diferencia ... d = 3
Por otro lado nos dan el nº total de soldados (1162) que representa la suma de todas las filas (las cuales serán los términos de la progresión) que se formen, así que:
Suma de "n" términos ... Sₙ = 1162
Un último dato que podemos sacar el texto es que el valor del primer término es 1, ya que es el nº de soldados que habrá en la primera fila así que:
Primer término de la progresión ... a₁ = 1
Hemos de usar dos fórmulas de las progresiones aritméticas:
- Fórmula del término general: aₙ = a₁ + (n-1) × d
- Fórmula de suma de términos: Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2
- En la primera pregunta (cuántas filas habrá que formar) nos está pidiendo el número de términos que tendrá esa progresión, es decir: n y será una de las incógnitas.
- En la segunda pregunta (cuántos soldados habrá en las dos últimas filas) nos pide el valor de esos dos términos: último y penúltimo (aₙ y aₙ₋₁) así que la otra incógnita será aₙ
Sustituyo en ambas fórmulas los datos conocidos:
aₙ = 1 + (n-1) × 3 ... simplificando ... aₙ = 3n - 2
1162 = (1 + aₙ) × n / 2 ... simplificando ... 2324 = (1 + aₙ) × n
Y vemos que nos sale un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas donde una de ellas (aₙ) ya está despejada en la primera ecuación así que usando el método de sustitución se resuelve la otra incógnita "n" y a continuación se resuelve la incógnita "aₙ"
Con la incógnita "n" resuelta ya sabes la respuesta a la primera pregunta.
Con la incógnita "aₙ" resuelta tienes la solución a la segunda pregunta.
Y temo que si me estás pidiendo las respuestas no hayas entendido nada de lo explicado, una pena. Solo quieres las soluciones para repetirlas o presentárselas al profesor sin haber comprendido nada de lo explicado.