Question

Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición la primera fila tiene que tener un soldado la segunda dos la tercera tres ¿cuantas filas tiene que haber?

Answer 1

Se resuelve con una progresión aritmética PA donde cada fila (o término de la PA) aumenta una unidad respecto a la anterior que será la diferencia entre términos consecutivos llamada "d".

Tenemos estos datos:
Primer término = a₁ = 1
Diferencia = d = 1
Suma de términos = S = 5050
Nos pide el nº de filas, es decir, el nº de términos que llamamos "n".

Acudiendo y sustituyendo valores en la fórmula para hallar el término general de cualquier PA...

$a_n=a_1+(n-1)*d \\ \\ a_n=1+(n-1)*1 \\ \\ a_n=n$

Ahora recurro a la fórmula de suma de términos de una PA
$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$

Sustituyendo valores conocidos y  $a_n\ \ por\ \ n$
$5050= \frac{(1+n)*n}{2} \\ \\ 10100=n+n^2 \\ \\ n^2+n-10100=0$

Aplico la fórmula general de ecuaciones cuadráticas...
$n_{1}, n_{2} = \frac{-b\pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$

De donde resulta esto:

$\left \{ {{n_1\ =\ \frac{-1+201}{2}\ =\ 100 } \atop {n_2\ =\ \frac{-1-201}{2}\ =\ -101 }} \right.$

Como habla de filas de soldados, la única solución válida para el ejercicio es la positiva, por tanto la respuesta es 100 filas

Saludos.