Un Coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres,…….¿Cuántas filas habrá?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Se resuelve con una progresión aritmética PA donde cada fila (o término de la PA) aumenta una unidad respecto a la anterior que será la diferencia entre términos consecutivos llamada "d".
Tenemos estos datos:
Primer término = a₁ = 1
Diferencia = d = 1
Suma de términos = S = 5050
Nos pide el nº de filas, es decir, el nº de términos que llamamos "n".
Acudiendo y sustituyendo valores en la fórmula para hallar el término general de cualquier PA...
\begin{gathered}a_n=a_1+(n-1)*d \\ \\ a_n=1+(n-1)*1 \\ \\ a_n=n\end{gathered}
a
n
=a
1
+(n−1)∗d
a
n
=1+(n−1)∗1
a
n
=n
Ahora recurro a la fórmula de suma de términos de una PA
S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}S
n
=
2
(a
1
+a
n
)∗n
Sustituyendo valores conocidos y a_n\ \ por\ \ na
n
por n
\begin{gathered}5050= \frac{(1+n)*n}{2} \\ \\ 10100=n+n^2 \\ \\ n^2+n-10100=0\end{gathered}
5050=
2
(1+n)∗n
10100=n+n
2
n
2
+n−10100=0
Aplico la fórmula general de ecuaciones cuadráticas...
n_{1}, n_{2} = \frac{-b\pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}n
1
,n
2
=
2a
−b±
b
2
−4ac
De donde resulta esto:
\left \{ {{n_1\ =\ \frac{-1+201}{2}\ =\ 100 } \atop {n_2\ =\ \frac{-1-201}{2}\ =\ -101 }} \right.{
n
2
=
2
−1−201
= −101
n
1
=
2
−1+201
= 100
Como habla de filas de soldados, la única solución válida para el ejercicio es la positiva, por tanto la respuesta es 100 filas
Saludos.