Un contenedor que transporta agua, como se muestra en la figura, está compuesto de un cilindro y una semiesfera unida a uno de sus costados. El volumen del contenedor es de 64 m³, pero el costo por metro cuadrado de construir la semiesfera es el triple que el del construir el área lateral. Si se sabe que el costo por metro cuadrado de la parte lateral y de la base es de 100 dólares, determina las dimensiones del cilindro de tal forma que el costo sea el mínimo. 946/555//845 resuelto
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Para que el costo sea mínimo, el cilindro tiene que tener 4,82 metros de altura y 1,81 metros de radio.
Explicación:
Si el costo de construir el área lateral y la base es de 120 dólares por metro cuadrado, el costo de la semiesfera es de 240 dólares por metro cuadrado. El costo de construir el contenedor es:
\begin{gathered}C=120(\pi.r^2+2\pi.r.h)+240.2\pi.r^2\\\\C=600\pi.r^2+240\pi.rh\end{gathered}C=120(π.r2+2π.r.h)+240.2π.r2C=600π.r2+240π.rh
Y el volumen del contenedor es:
\begin{gathered}V=\pi.r^2.h+\frac{2}{3}\pi.r^3\\\\h=\frac{V-\frac{2}{3}\pi.r^3}{\pi.r^2}\end{gathered}V=π.r2.h+32π.r3h=π.r2V−32π.r3
Reemplazando la expresión de la altura en la del costo queda:
\begin{gathered}C=600\pi.r^2+240\pi.r.\frac{V-\frac{2}{3}\pi.r^3}{\pi.r^2}\\\\C=600\pi.r^2+240\frac{V-\frac{2}{3}\pi.r^3}{r}\\\\C=\frac{600\pi.r^3+240V-160\pi.r^3}{r}=\frac{440\pi.r^3+240V}{r}\end{gathered}C=600π.r2+240π.r.π.r2V−32π.r3C=600π.r2+240rV−32π.r3C=r600π.r3+240V−160π.r3=r440π.r3+240V
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Respuesta:
Explicación paso a paso:
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