Un contenedor metálico de forma cilíndrica y sin tapa tiene una capacidad de 10 ft3. Encuentra las dimensiones de radio y altura del contenedor que requieren la menor cantidad de material posible.
Respuestas a la pregunta
Para calcular el volumen de un cilindro hay que multiplicar el área de la base por la altura del cilindro. La base es circular, por lo que su área es r2 × π.
La fórmula general para el área total de superficie de un cilindro es T. S. A. = 2 π rh + 2 π r 2 .
La altura del cilindro es igual a 1 ft y el radio es aproximadamente 1.78 ft
El volumen total de un cilindro con radio "r" y altura "h" es igual a:
V = πr²h
Luego tenemos que
10 ft³ = πr²*h
1. h = 10/ πr²
Luego el área del cilindro (sin tapa) es igual a:
2. A = 2πrh + πr²
Sustituimos la ecuación 1 en la ecuación 2:
A = 2πr*(10/ πr²) + πr²
= 20/r + πr²
Luego derivamos e igualamos a cero:
A' = 2πr - 20/r² = 0
2π = 20/r²
r² = 20/2π
r² = 3.18
r = √3.18
r = 1.78
Calculamos la segunda derivada evaluada en el punto:
A'' = 2π - (-2)*20/r³
= 2π + 40/r³
Como r es positivo entonces A'' es mayor que cero, y de aquí el radio encontrados e sun máximo, sustituimos en la ecuación de altura:
h = 10/ πr²
h = 10/(π*(1.78)²)
h = 1
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