Un cono recto de 3 cm de radio tiene 18π cm3 de volumen. ¿Cuál es el área total del cono?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Radio = 3cm
Volumen = 18 π √2 cm3
El área lateral de superficie (L. S. A.) de un cono recto es por definición:
L.S.A.=\pi rlL.S.A.=πrl
donde:
l es la altura de inclinación del cono
π es la constante 3,14
r es el radio
Necesitamos por tanto encontrar la altura de inclinación del cono y vamos a sacarlo del volumen:
Por definición el volumen de un cono con radio r es un tercio del área de la base (\pi r^{2}πr2 ) por la altura h:
V = \frac{1}{3} \pi r^{2} hV=31πr2h
Sustituimos en la fórmula:
18 \pi \sqrt{2} = \frac{1}{3} \pi 3^{2} h18π2=31π32h
18 \pi \sqrt{2} = 3\pi h18π2=3πh
Despejamos h:
$ h= \frac{ 18 \pi \sqrt{2}}{3\pi }
$ h=6 \sqrt{2}
Para hallar la inclinación del cono tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la inclinación del cono, el cateo mayor es la altura que acabamos de hallar y el cateto menor es el radio de la circunferencia de la base por lo tanto aplicamos el Teorema de Pitágoras:
l^{2} = h^{2} + r^{2}l2=h2+r2
Sustituimos:
l^{2} = (6\sqrt{2)} ^{2} + (18\pi \sqrt{2} )^{2}l2=(62)2+(18π2)2
l^{2} = 6 ^{2}\cdot 2 + (18\pi)^{2}\cdot2l2=62⋅2+(18π)2⋅2
l^{2} = 72 + 648\pi ^{2}l2=72+648π2
l^{2} = 72 + 648 \cdot 9,87l2=72+648⋅9,87
l^{2} = 6.467,5l2=6.467,5
l = \sqrt{6.467,5}l=6.467,5
l=80,42l=80,42
(Aquí no he encontrado la manera de expresar la inclinación arrastrando radicales y π, revísalo por si es posible y no he sido capaz de ver cómo)
Sustituimos en la fórmula del área:
L.S.A.=\pi rlL.S.A.=πrl
L.S.A.=\pi\cdot3\cdot80,42L.S.A.=π⋅3⋅80,42
\boxed {L.S.A.=757,94cm^{2}}L.S.A.=757,94cm2