Question

Un comerciante depositó su capital al 6% anual, y el monto que obtuvo fue S/. 4800; pero si lo hubiese depositado al 5% semestralmente en el mismo tiempo, el monto sería S/. 6000. El tiempo en años a que se impuso dicho capital fue:.

Answer 1

El capital fue depositado a 5,69 años.

Explicación:

El capital resultante de la operación consistente en depositar al 6% anual es:

$C_{f1}=C_i(1+0,06)^{n}$

Donde el n es el tiempo en períodos, en este caso, años. Como cada año tiene 2 semestres y el dinero se va a depositar al 5% semestral el mismo tiempo queda:

$C_{f2}=C_i(1+0,05)^{2n}$

De las dos expresiones tenemos que despejar el capital inicial e igualarlas:

$C_i=\frac{C_{f1}}{(1+0,06)^n}\\\\C_i=\frac{C_{f2}}{(1+0,05)^{2n}}\\\\\frac{C_{f2}}{(1,05)^{2n}}=\frac{C_{f1}}{(1,06)^n}$

Despejando la cantidad de años queda:

$\frac{C_{f2}}{(1,05^2)^{n}}=\frac{C_{f1}}{(1,06)^n}\\\\\frac{C_{f2}}{C_{f1}}=\frac{(1,05^2)^{n}}{(1,06)^n}\\\\\frac{C_{f2}}{C_{f1}}=(\frac{1,05^2}{1,06})^n\\\\\frac{C_{f2}}{C_{f1}}=(1,04)^n\\\\n=log_{1,04}(\frac{C_{f2}}{C_{f1}})=log_{1,04}(\frac{6000}{4800})=5,69$