Question

Un coleccionista de obras de arte compró una pintura a un artista por 1000 dls, el valor de su trabajo se incrementa regularmente con respecto al tiempo de acuerdo con la fórmula :$\frac{dV}{dt} =6tx^{2} +8t+50$
Donde V dólares es el valor anticipado de una pintura t años después de su compra. Si esta fórmula fuera
válida para los 6 años siguientes ¿Cuál será el valor de la pintura en dos años a partir de ahora?

Answer 1

El valor de la pintura en dos años a partir de ahora será de 1132 dólares.

Explicación:

La ecuación diferencial dada es una ecuación de variables separables. Debemos hallar, por integración, la primitiva o solución general de la ecuación y, con los valores iniciales dados, responder la interrogante.

$\dfrac{dV}{dt}~=~6t^2~+~8t~+~50\qquad\Rightarrow\qquad dV~=~(6t^2~+~8t~+~50)dt\qquad\Rightarrow$

$\int\, dV~=~ \int {(6t^2~+~8t~+~50)} \, dt \qquad\Rightarrow\qquad V~+~C1~=~6\dfrac{t^3}{3}~+~8\dfrac{t^2}{2}~+~50t~+~C2\qquad\Rightarrow$

$\bold{V_{(t)}~=~2t^3~+~4t^2~+~50t~+~C}$

Una vez conocida la primitiva, sustituimos los valores iniciales        t  =  0        V  =  1000        para hallar el valor de  C:

$1000~=~2(0)^3~+~4(0)^2~+~50(0)~+~C\qquad\Rightarrow\qquad\bold{C = 1000}$

Entonces, la solución particular o modelo de simulación del valor anticipado de las pinturas es:

$\bold{V_{(t)}~=~2t^3~+~4t^2~+~50t~+~1000}$

Ahora podemos responder la interrogante, sustituyendo el valor  2  en lugar de  t  y calculando  V:

$V_{(2)}~=~2(2)^3~+~4(2)^2~+~50(2)~+~1000\qquad\Rightarrow\qquad\bold{V_{(2)}~=~1132}$

El valor de la pintura en dos años a partir de ahora será de 1132 dólares.

Answer 2

Respuesta:

El valor de la pintura en dos años a partir de ahora será de 1132 dólares.

Explicación:

La ecuación diferencial dada es una ecuación de variables separables. Debemos hallar, por integración, la primitiva o solución general de la ecuación y, con los valores iniciales dados, responder la interrogante.

\dfrac{dV}{dt}~=~6t^2~+~8t~+~50\qquad\Rightarrow\qquad dV~=~(6t^2~+~8t~+~50)dt\qquad\RightarrowdtdV = 6t2 + 8t + 50⇒dV = (6t2 + 8t + 50)dt⇒

\int\, dV~=~ \int {(6t^2~+~8t~+~50)} \, dt \qquad\Rightarrow\qquad V~+~C1~=~6\dfrac{t^3}{3}~+~8\dfrac{t^2}{2}~+~50t~+~C2\qquad\Rightarrow∫dV = ∫(6t2 + 8t + 50)dt⇒V + C1 = 63t3 + 82t2 + 50t + C2⇒

\bold{V_{(t)}~=~2t^3~+~4t^2~+~50t~+~C}V(t) = 2t3 + 4t2 + 50t + C

Una vez conocida la primitiva, sustituimos los valores iniciales        t  =  0        V  =  1000        para hallar el valor de  C:

1000~=~2(0)^3~+~4(0)^2~+~50(0)~+~C\qquad\Rightarrow\qquad\bold{C = 1000}1000 = 2(0)3 + 4(0)2 + 50(0) + C⇒C=1000

Entonces, la solución particular o modelo de simulación del valor anticipado de las pinturas es:

\bold{V_{(t)}~=~2t^3~+~4t^2~+~50t~+~1000}V(t) = 2t3 + 4t2 + 50t + 1000

Ahora podemos responder la interrogante, sustituyendo el valor  2  en lugar de  t  y calculando  V:

V_{(2)}~=~2(2)^3~+~4(2)^2~+~50(2)~+~1000\qquad\Rightarrow\qquad\bold{V_{(2)}~=~1132}V(2) = 2(2)3 + 4(2)2 + 50(2) + 1000⇒V(2) = 1132

El valor de la pintura en dos años a partir de ahora será de 1132 dólares.