Question

Un coche va desde de Teruel hacia Orense a una velocidad de 120 km/h A la misma hora, un autobús sale desde Orense hacia Teruel a una velocidad de 90 km/h. ¿Cuảnto tiempo tardarán en encontrarse, sabiendo que la distancia entre las dos ciudades es de 805 km? ¿A que distancia de cada ciudad se encuentran?​

Answer 1

Ambos móviles se encontrarán en 3 horas y 50 minutos

El auto recorrió desde la ciudad A 460 kilómetros hasta el encuentro

El autobús recorrió desde la ciudad B 345 kilómetros hasta el encuentro

Se trata de un problema de móviles que marchan en sentidos opuestos

Dado que el problema no dice otra cosa los dos móviles se desplazan en trayectoria recta, a velocidad constante y con aceleración nula. Eso implica recorrer distancias iguales en tiempos iguales (MRU)

Donde

Un coche y un autobús se mueven en sentidos contrarios con velocidades constantes de 120 km/h y 90 km/h, respectivamente.

Donde el auto sale de la ciudad A hacia la B y el autobús de la B hacia la A

Se desea saber el tiempo de encuentro si entre las dos ciudades hay 805 km de distancia. Y donde ambos móviles partieron simultáneamente o a la misma hora

Se desea saber a qué distancia de cada ciudad se encuentran

Solución

Calculo del tiempo de encuentro

El instante de tiempo en que los dos móviles están separados 805 km, lo llamaremos t = 0, y  definiremos el origen en el punto donde se encuentra el auto en t = 0 de este modo:

Luego

$\large\boxed {\bold { x_{0\ AUTO} = 0 \ , \ \ \ x_{0 \ AUTOBUS} = 805 }}$

$\large\boxed {\bold { V_{AUTO} = 120\ km/h \ , \ \ \ V_{AUTOBUS} = 90 \ km/h }}$

Entonces, en cualquier instante posterior de tiempo, las posiciones o trayectorias correspondientes serán:

$\boxed {\bold { x_{AUTO} =120 \ km / h \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x_{AUTOBUS} =805 \ km - 90 \ km/h \ . \ t }}$

Como el tiempo de encuentro será el mismo para ambos, igualamos las ecuaciones

$\large\boxed {\bold { x_{AUTO} = x_{AUTOBUS} }}$

$\boxed {\bold {120 \ km/h \ . \ t =805 \ km - 90 \ km/h \ . \ t }}$

$\boxed {\bold {120 \ km/h \ . \ t +90 \ km/h \ . \ t = 805 \ km }}$

$\boxed {\bold {210 \ km/h \ . \ t =805 \ km }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{805 \ km }{210 \ km/h} }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{805 }{210 } \ h }}$

$\large\textsf{Simplificamos la fracci\'on }$

$\boxed {\bold { t = \frac{35 \ . \ 23 }{35 \ .\ 6 } \ h }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{23 }{ 6 } \ h }}$

$\large\boxed {\bold { t =3 \frac{5 }{ 6 } \ h }}$

$\large\textsf{Donde 3 son las horas }$

$\large\textsf{Los minutos ser\'an } \bold{\frac{5}{6} \ hora }$

$\bold{\frac{5}{6} \ hora \ . \ 60 = \frac{300}{6} = 50 \ minutos}$

Por lo tanto ambos móviles se encontrarán en 3 horas y 50 minutos

Hallamos la distancia recorrida para cada uno de los móviles

Por la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTO} = Velocidad_{\ AUTO} \ . \ Tiempo}}$

Hallamos la distancia recorrida por el coche desde que salió al encuentro

$\large\textsf{Con su velocidad de desplazamiento y para el tiempo de encuentro }$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTO} =120 \ km/h \ . \ \frac{23}{6} \ h }}$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTO} = \frac{2760}{6} \ km }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTO} =460\ km }}$

El auto recorrió desde la ciudad A 460 kilómetros hasta el encuentro

Por la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTOBUS} = Velocidad_{\ AUTOBUS} \ . \ Tiempo}}$

Hallamos la distancia recorrida por el autobús desde que salió al encuentro

$\large\textsf{Con su velocidad de desplazamiento y para el tiempo de encuentro }$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTOBUS} =90 \ km/h \ . \ \frac{23}{6} \ h }}$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTOBUS} = \frac{2070}{6} \ km }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTOBUS} = 345\ km }}$

El autobús recorrió desde la ciudad B 345 kilómetros hasta el encuentro

Si sumamos las distancias recorridas por ambos móviles obtendremos la distancia que los separaba al principio

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTO} + Distancia_{\ AUTOBUS} = 805 \ km }}$

$\boxed {\bold {460 \ km + 345 \ km = 805 \ km }}$

$\boxed {\bold {805 \ km = 805 \ km }}$