Question

Un circuito consta de un resistor R en serie con un inductor L. Cuando está sujeto a una entrada escalón de tensión eléctrica V en el tiempo t=0 la ecuación diferencial para el sistema está dada por
= +£t = %. ¿Cuál es a) la solución para esta ecuación diferencia.?
b) la constante de tiempo? ; c) la corriente i(t) en estado estable?

Answer 1

La solución de la ecuación diferencial es $i(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}.t})$, la constante de tiempo es $\tau=\frac{L}{R}$ y en estado estable la corriente es $i=\frac{E}{R}$

¿Cómo hallar la ecuación diferencial del circuito?

Si tenemos un circuito en serie con un inductor y un resistor, podemos aplicar la segunda ley de Kirchoff, siendo E la tensión del escalón, R la resistencia y L la inductancia y tenemos:

$E=i.R+L\frac{di}{dt}$

La solución para la ecuación diferencial será la corriente en función del tiempo:

$L\frac{di}{dt}=E-i.R\\\\di=\frac{E-iR}{L}dt\\\\di=(\frac{E}{R}-i)\frac{R}{L}dt\\\\\frac{R}{L}dt=\frac{di}{\frac{E}{R}-i}$

Integrando en ambos miembros queda:

$\frac{R}{L}.t=-ln(\frac{E}{R}-i)+C\\\\-\frac{R}{L}.t=ln(\frac{E}{R}-i)+C\\\\e^{-\frac{R}{L}.t}=e^C(\frac{E}{R}-i)\\\\k=e^{-C}= > k.e^{-\frac{R}{L}.t}=\frac{E}{R}-i\\\\i(t)=\frac{E}{R}-k.e^{-\frac{R}{L}.t}$

El inductor se opone a una variación brusca de corriente, por lo que antes y después del escalón tiene que haber continuidad en la función de corriente. Entonces, tenemos i(0)=0:

$i(0)=\frac{E}{R}-k.e^{-\frac{R}{L}.0}=0\\\\k=\frac{E}{R}= > i(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}.t})$

¿Cómo hallar la constante de tiempo y la corriente en modo estable?

La ecuación se puede escribir en términos de la constante de tiempo $\tau$ de esta forma:

$i(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$

Y en esta ecuación tenemos $\tau=\frac{L}{R}$.

Para hallar la corriente en estado estable tenemos que hallar el límite con el tiempo tendiendo a infinito:

$i(\infty)= \lim_{t \to \infty} \frac{E}{R}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})=\frac{E}{R}$

O sea, tiende al valor que tendría la corriente si el circuito tuviera solo la resistencia, porque cuando pasó en transitorio, el inductor se comporta como un conductor normal.

Aprende más sobre las ecuaciones diferenciales en https://brainly.lat/tarea/13208328

#SPJ1