Un cilindro circular recto de radio r y altura h está inscrito en un cono de altura de 12m y radio de la base de 5m. Exprese el volumen del cilindro como una función de r.
Doy 20 puntos.
Respuestas a la pregunta
El volumen del cilindro como una función de r es V = π r² (60 - 12r)/5 m³.
Explicación paso a paso:
En la figura anexa se observa el cilindro circular recto dentro del cono circular y el corte transversal que genera un triángulo rectángulo con un rectángulo interno. De igual forma se observa que en la parte superior del rectángulo se dibuja un triángulo rectángulo cuyos ángulos son semejantes con el triángulo exterior.
Vamos a usar el concepto de semejanza de triángulos para relacionar las tangentes del ángulo común de los triángulos rectángulos, el ángulo superior en la figura, y hallar una relación entre r y h que permita despejar esta última en función de la primera:
1) Llamamos A al ángulo superior:
Triángulo original: TgA = (5/12)
Triángulo superior: TgA = r/(12 - h)
Por lo tanto
(5/12) = r/(12 - h) ⇒ 5 (12 - h) = 12r ⇒
h = (60 - 12r)/5 metros
2) Calculamos el volumen del cilindro:
Volumen del Cilindro Circular Recto = V = (área de base) (altura) = π r² h
En el caso que nos ocupa:
V = π r² h = π r² (60 - 12r)/5 m³
