Question

Un ciclista efectua dos desplazamientos, el primero de 12km al norte y el segunso de 7 km al este.
Calcular:
A)¿Cual es la distancia recorrida por el deportista?
B)Encuentre graficamente el desplazamiento resultante, asi como la direccion en que actua y el valor del angulo medido respecto al este.

Answer 1

a) La distancia recorrida por el ciclista es de 19 kilómetros

b) El desplazamiento resultante del ciclista es de 13.9 kilómetros en dirección Noreste con un ángulo de 59.74° respecto al Este

Los puntos cardinales son referencias geográficas que se utilizan para ubicarnos en la Tierra. Estas referencias se definen en base al eje de rotación: el sur y norte apuntan hacia los polos geográficos, mientras que el este y oeste en direcciones perpendiculares a este eje.

Siendo en el plano cartesiano el eje X también llamado eje de las abscisas representa la dirección este – oeste, y el eje Y llamado el eje de las ordenadas representa la dirección norte – sur

Donde tomamos donde el ciclista empezó a desplazarse como centro de origen (0,0) en la intersección de los ejes de X e Y

Luego al estar dividido el plano cartesiano en cuatro cuadrantes, se toma el semieje positivo del eje Y como la dirección Norte y el semieje positivo del eje X como la dirección Este

Representamos el problema en el plano cartesiano

El ciclista inicia su recorrido -partiendo del origen de coordenadas-avanzando hacia el Norte 12 kilómetros, luego se dirige en dirección Este recorriendo 7 kilómetros donde culmina su trayectoria de distancia

a) Distancia recorrida

La distancia recorrida se reduce a una suma de distancias por cada tramo realizado

Sumando entonces el tramo recorrido hacia el Norte de 12 kilómetros y el trayecto efectuado hacia el Este de 7 kilómetros

$\boxed{ \bold { Distancia \ Recorrida = 12 \ km + 7 \ km } }$

$\large\boxed{ \bold { Distancia \ Recorrida = 19 \ km } }$

La distancia recorrida por el ciclista es de 19 kilómetros

b) Desplazamiento resultante

El desplazamiento resultante está dado por la distancia recorrida desde el punto inicial hasta el punto final de la trayectoria.

Donde el punto inicial es donde el ciclista comenzó a desplazarse al iniciar su trayectoria y el punto final es donde el ciclista se dirigió y terminó su recorrido de distancia

Luego determinamos la distancia en línea recta entre ambos puntos

Dado que las direcciones Norte y Este son perpendiculares hallamos el vector del desplazamiento resultante aplicando el teorema de Pitágoras

Por tanto la distancia en línea recta entre ambos puntos va a estar determinada por el valor de la hipotenusa que se obtiene del triángulo rectángulo, donde un cateto es el trayecto recorrido por el ciclista en dirección Norte y el otro cateto es el tramo recorrido por el ciclista en dirección Este

Hallando la hipotenusa del triángulo rectángulo habremos encontrado la distancia en línea recta desde el inicio hasta el final de la trayectoria, siendo esta distancia una resultante entre los dos trayectos realizados al Norte y al Este respectivamente

A esta distancia en línea recta desde el punto de partida hasta al punto en donde culminó su recorrido el ciclista se la conoce como desplazamiento

Por lo tanto aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el módulo del desplazamiento realizado por el ciclista

$\large\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D_{R} }|| =\sqrt{ (||\overrightarrow{D}_{1}|| )^{2} + (||\overrightarrow{D}_{2}|| )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{(12 \ km )^{2} +(7 \ km)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{144 \ km ^{2} +49 \ km^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{193 \ km ^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| \approx 13.89224\ km } }$

$\textsf{Redondeando por exceso}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| \approx13.9 \ km } }$

El desplazamiento resultante del ciclista es de aproximadamente 13.9 kilómetros

Dirección y ángulo respecto al Este

La dirección resulta ser al ángulo que se forma con el eje X

Para hallar el ángulo buscado recurrimos a las razones trigonométricas usuales

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Luego tomamos la razón trigonométrica tangente

$\boxed {\bold {tan (\alpha ) = \frac{cateto \ opuesto}{ cateto \ adyacente } } }$

Consideramos como cateto opuesto a la distancia recorrida por el ciclista en dirección norte cuyo valor es de 12 kilómetros. Y donde el cateto adyacente es la magnitud del tramo efectuado hacia el este de 7 kilómetros

$\boxed {\bold {tan (\alpha ) = \frac{12 \not km}{ 7 \not km } } }$

$\textsf{Aplicamos la inversa de la tangente para hallar el \'angulo}$

$\boxed{\bold{ \alpha = arctan \left( \frac{12}{7} \right)}}$

$\boxed{\bold{ \alpha = 59.74356^o}}$

$\large\boxed{\bold{ \alpha = 59.74^o}}$

La dirección en que actúa es hacia el Noreste con un ángulo de 59.74° respecto al Este

Se agrega como adjunto la resolución gráfica solicitada