Un cerca de 40 metros de largo se divide en dos partes para delimitar dos regiones cuadradas. Sean a y b las longitudes de un lado de cada region cuadrada. ́ a) Exprese la suma de las areas de las dos regiones en funcion de ́ a o ́ b, pero no de ambas. b) ¿Cuanto deben medir ́ a y b para que la suma de las areas de ambas regiones sea mınima?
Respuestas a la pregunta
La suma de las áreas es igual a b² + (40 metros - b)² y para que sea mínima b = 20 metros y a = 20 metros
1. Sean a y b los lados de las regiones, entonces tenemos que como de largo la suma de los lados mide 40 metros, entonces
a + b = 40 metros
a = 40 metros - b
Luego el área de la dos regiones es:
(40 metros - b)²
b²
La suma del área de las dos regiones:
b² + (40 metros - b)²
2. Deseamos determinar a y b para que la suma de las áreas sea minima, entonces primero desarrollamos la expresión de la suma:
b² + (40 metros - b)²
= b² + 1600 m² - 80b m + b²
= 2b² - 80b m + 1600 m²
Derivamos la expresión e igualamos a cero (omitiremos las unidades para reducir los cálculos)
4b - 80 = 0
4b = 80
b = 80/4
b = 20 metros
La segunda derivada es es 4 que es positivo, por lo tanto es un mínimo, sustituimos en la ecuación de "a"
a = 40 metros - 20 metros = 20 metros