Question

Un cascarón esférico tiene un radio de 1,88m y se encuentra inicialmente en reposo. La aplicación de un torque de 960Nm le imprime una aceleración de 6,23rad/s2 en torno al eje que pasa por el centro del cascarón. ¿Cuál es la masa del cascarón? ¿Cuántas revoluciones realiza después de 15s? ¿Qué potencia desarrolla en este intervalo de tiempo?

Answer 1

La masa del cascarón esférico es de 65,4 kg, en 15 segundos realiza 112 revoluciones y desarrolla 480 W de potencia.

¿Cómo hallar la masa del cascarón esférico?

Para hallar la masa del cascarón, teniendo el torque aplicado y la aceleración angular resultante, podemos plantear la segunda ley de Newton aplicada al movimiento de rotación, donde I es el momento de inercia:

$\tau=I.\alpha$

Podemos reemplazar la expresión del momento de inercia, donde M es la masa del cascarón y R es su radio, por lo que queda:

$\tau=\frac{2}{3}MR^2.\alpha$

De esta expresión podemos despejar la masa del cascarón esférico para hallar su valor:

$M=\frac{3\tau}{2R^2\alpha}=\frac{3\tau}{2R^2\alpha}=\frac{3.960Nm}{2.(1,88m)^2.6,23s^{-2}}\\\\M=65,4kg$

¿Cómo hallar el número de revoluciones y la potencia desarrollada?

Si la esfera parte del reposo, el desplazamiento angular está dado por esta expresión:

$\theta=\frac{1}{2}\alpha.t^2$

Donde t es el tiempo transcurrido, el desplazamiento angular para t=15s es:

$\theta=\frac{1}{2}.6,23s^{-2}.(15s)^2=700,875$

Como una revolución equivale a $2\pi$ radianes, la cantidad de revoluciones es:

$n=\frac{\theta}{2\pi}=\frac{700,875}{2\pi}=111,6$

La potencia media desarrollada en ese tiempo es la relación entre la energía cinética rotacional adquirida y el tiempo:

$E=\frac{1}{2}Iw^2=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}MR^2.w^2\\\\w=\alpha.t= > E=\frac{1}{3}MR^2.\alpha.t$

Tenemos que dividir la expresión de la energía por el tiempo transcurrido para hallar la potencia:

$E=\frac{1}{3}MR^2.\alpha.t\\\\P=\frac{E}{t}=\frac{MR^2\alpha.t}{3t}=\frac{MR^2\alpha}{3}=\frac{65,4kg.(1,88m)^2.6,23s^{-2}}{3}\\\\P=480W$

Aprende más sobre el momento de inercia en https://brainly.lat/tarea/13557130

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