Question

Un carpintero tiene un trozo de madera de 6 m de longitud y desea construir un marco de una puerta sin que le sobre falta madera si la puerta es rectangular y desea cubrir un área de 1.89 metros cuadrados se determine en metros las dimensiones de alto y ancho de la puerta (pregunta UNAM) a) 2.1 , 0.9 b) 2.94 , 0.06 c) 3.53 , 0.53 d) 6.6 , 5,4

Answer 1

La puerta debe tener 2,64 metros de altura y 0,72 metros de ancho.

Explicación paso a paso:

El marco de la puerta es un rectángulo que no tiene uno de sus lados menores (el de la base), con lo cual si el perímetro del mismo tiene que ser de 6 metros, las dimensiones tienen la siguiente relación:

$P=2.h+a$

Donde h es la altura y a el ancho. si el área es 1,89 metros cuadrados queda:

$A=a.h$

De esta última expresión despejamos 'a' y lo reemplazamos en la primera:

$a=\frac{A}{h}\\\\P=2h+\frac{A}{h}\\\\6=2h+\frac{1,89}{h}=\frac{2h^2+1,89}{h}\\\\6h=2h^2+1,89\\\\2h^2-6h+1,89=0$

Y resolvemos la ecuación cuadrática:

$h=\frac{6\ñ\sqrt{6^2-4.2.1,89}}{2.2}\\\\h=\frac{6\ñ\sqrt{36-15,12}}{4}\\\\h=2,64\\\\h=0,36$

Como por sentido común la puerta debe tener más altura que ancho nos quedamos con el primer valor, el ancho es:

$a=P-2h=6-2.2,64\\\\a=0,72$

Answer 2

Las dimensiones del marco de la puerta son, 2,1 metros de alto y 0,9 metros de ancho, opción A.

Para calcular las dimensiones del marco de la puerta, se hace uso de las ecuaciones de área y perímetro de un rectángulo.

¿Cómo se calcula el Área de un Rectángulo?

El área de un rectángulo se calcula con la expresión:

Área = Alto * Ancho

¿Cómo se calcula el Perímetro de un Rectángulo?

Para calcular el perímetro de un rectángulo se debe sumar la longitud de cada uno de sus lados. La ecuación para calcularlo es:

P = 2 * Alto + 2 * Ancho

Se indica que el área es de 1,89 metros cuadrados, y que el perímetro es de 6 metros, por lo que se puede armar el siguiente sistema de ecuaciones, llamando "x" al alto y "y" al ancho:

1. x * y = 1,89
2. 2x + 2y = 6

De la ecuación 1 se despeja "y" y se sustituye en la ecuación 2 para obtener el valor de "x".

x * y = 1,89

y = 1,89/x

Luego:

2x + 2y = 6

2x + 2(1,89/x) = 6

2x² + 3,78 = 6x

2x² - 6x + 3,78 = 0

Se forma una ecuación de segundo grado de la forma "ax² + bx + c = 0", la cual se resuleve con la expresión:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

Con los valores de a = 2, b = -6 y c = 3,78 se obtiene:

x = [-(-6) ± √((-6)² - 4 * 2 * 3,78)] / (2 * 2)

x = [6 ± √(36 - 30,24)] / 4

x = [6 ± √(5,76)] / 4

x = (6 ± 2,4) / 4

Se obtienen dos soluciones:

• x = (6 + 2,4) / 4

x = 8,4/4

x = 2,1

• x = (6 - 2,4) / 4

x = 3,6/4

x = 0,9

Como se trata del alto de la puerta, se toma el valor más grande, es decir x = 2,1 metros.

Luego, el valor de "y" resulta:

y = 1,89/x

y = 1,89/2,1

y = 0,9

Por lo tanto, el alto de la puerta es 2,1 metros y el ancho es 0,9 metros.

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